発展問題 ✓ 169 微分可能な関数 f(x) とすべての実数x, yについて,次の等式が成り立って いる。 160 「 f(x+y)=f(x)f(y)-sinxsiny, f'(0) = 0 このとき、次のことが成り立つことを示せ。 (1) f(0)=1 (2) f'(x)=-sinx (3) -1≦f(x+1)-f(x)≦1

169 指針■ 関数の等式に関する問題 →0や1など, 特殊な値を代入してみる。 (1) x = 0 を代入して変形すると, (y){1-f(0)}= 0 となる。 f(0) ≠1 と仮定して矛盾を導く。 (2) f(x)の定義式 lim(x+h)-f(h) を 0 h 条件で与えられているf'(0) の定義式の形が でてくるように式変形する。 与えられた関数の等式や (1) の結果を利用す る。 (3)平均値の定理を利用する。 f(x+y)=f(x)f(y) sin xsiny ① とおく。 - ****** (1) ① に x=0 を代入すると f(y)=f(0)f(y) f(y){1-f(0)}=0 すなわち ここで,f(0) ≠1 と仮定すると, すべての実数y に対してf(y) =0 このとき, ①は0=-sinxsiny となり, すべて の実数x, y に対しては成り立たない。 よって, 矛盾である。 -x= 20) ITI したがって f(0) =1 S (2)f'(x) = lim f(x+h)-f(x) h→0 h ここで, ①より よって f(x+h)=f(x)f(h) - sin xsinh