3 xy 平面において,x, yがともに整数であるとき,点(x, y) を格子点とよぶ。 mを正の 整数とするとき, 放物線y=x2-2mx+m²とx軸およびy軸によって囲まれた図形を Dとする。 (1) Dの周上の格子点の数L をm で表せ。 Y2) D の周上および内部の格子点の数 T をm で表せ。 3) T m Dの面積をSm とする。 lim " を求めよ。 →00 S

3 解答 (1) Lm=m2+2m (2)T= (m+1)(2m²+m+6) (解説) (1)y=(x-m)2 6 mは正の整数であるから, 図形Dは右の図の斜線部 分となる。 ただし, 境界線を含む。 Dの周上の格子点のうち, x軸上にあるものは (k, 0) (k=0, 1, ......, m) で, (m+1) 個ある。 軸上にあるものは (0,k) (k=0,1, ......, m²) で, (m2+1)個ある。 放物線上にあるものは (k, (k-m)2)(k=0, 1, ....... m) で, (m+1) 個ある。 よって,Dの周上の格子点の数 L は, 重複に注意して Lm=(m+1)+(m²+1)+(m+1)-3=m²+2m (3)1 m2 y=(x-m)2 x m (2) Dの格子点のうち直線x=k(k=0, 1, ••••••, m) 上にあるものは{(k-m)'+1} 個 ある。 よって, Dの周上および内部の格子点の数 Tm は m 37 Tm=Σ{k-m)?+1}=Σ(12+1)=21+M1 = k=0 1 1=0 l=1 1=0 1m(m+1)2m+1)+(m+1)=/22( (m+1)(2m²+m+6)