例題 13n個の値 1,2,3, nを等しい確率 Xの期待値と分散を求めよ。 2/12n(n+1)=1/2n(n+1)(2n+1)を利用。 k=1 変数Xについて、 解答 k=1, 2, 3, .....nの各値について P(X=k)= n よって n また +2・ E(X)=1+1+2+++ 1/1 n =(1+2+･･ n 1 = k=1 n ・+n).. n 12=1/11/21(n+1)=1/2(n+1)圏 nk=1 E(X9)=12.12+28.1/72+ ·+......+n².. 1 2 n n n =(12+22+....+n2)・ n =k² = 1 k² = 1.1n(n+1)(2n+1)=(n+1)(2n+1) k=1 ゆえに n nk=1 V(X)=E(X2)-{E(X)}2 -1/2 (n+1)(2n+1)-{/12 (n+1)} =1/21(n+1)(n-1) □ 111 nは2以上の自然数とする。 1からnまでの自然数 1, 2, ..., nの数を1 つずつ書いたn枚のカードが入った箱がある。 この箱から同時に2枚のカー ドを取り出して,そのうち大きい方の数をXとする。 (1) 1≦k≦n である自然数んに対して X=k となる確率を求めよ。 (2) Xの期待値と分散を求めよ。 ヒント--- 111(1) X=k となるのは,1枚は数々が書かれたカードを取り出し、他の1枚はk-1以下 の数が書かれたカードを取り出した場合である。 (2) Σk Σk² = {n(n+1)}* * k=1

それぞれの値をとる場合の数は, 順に 1, 4, 1, 2, 2 通りである。 また5枚のカードから2枚を取り出す方法の総 数は 52=10(通り) よって、 Xの確率分布は次の表のようになる。 X P 3410 2100 4 1 10 6210 5210 計 1 (2)E(X=k. 2(k-1) n(n-1) 2(k²-k) n(n-1)=1 2 1 -1) { n(n-1)6 2n+1) 3 n(n+1)x(2n+1)————n(n+1)} E(X4)=112. 2(k-1) k=1 n(n-1) 2 n(n-1)ki 2 (1) E(Y)=E( 4 = 11/20 5 V(Y) = V (Y)=√ (2)E(Y)=E =2 V(Y) = I ゆえに E(X) = 2.100 2 4 1 +3. +4. +5・ 10 10 20 = ここで =4 +6.10 E(X2)=22.. 1 +32. 110 2 200 +52. 10 k=1 n(n n(n+1)(3n2-n-2) -n(n+1)2n+1) (Y)=- (3) E(Y) = +62.. 10 89 5 したがって V(X) = E(X2) -{E(X)}= 89 -42=- 5 9-5 別解 [V(X)の求め方] V(X)=(2-4)2.10 + 1 4 +(3-4)2.. 12 1 -n(n-1)(n+1)3n+2) 12 V(Y)= よって E(X2)= (n+1)(3n+2) 6 ゆえに V(X)=E(X2)-{E(X)} (n+1)(3n+2) σ(Y)= 2(n+1))2 6 900円 100 3 (n+1)(n-2) 114 (1) = 18 は X = 0 5,1 10 1 10 +(4-4)2.. + (5-4)?.. 200 10 2 +(6-4)². 10 18 9 10 111 (1) n枚のカードから2枚を取り出す方法の 総数は C2通り X 201 X=k とすると, 1枚のカードはんで 2≤kn このとき,もう1枚のカードは1以上k-1以下 のk-1枚の中から選ばれるから 通り よって, 2≦k≦n のとき k- P(X=0)= P(X=1)= 2C1X3C1 5C2 = 112 F(X)=2, V(X) = 5 であるから E(Y) = E(3X+7)=3E(X) +7 =3・(-2)+7=1 V(Y) =V(3X+7)=32V(X) =9.5=45 (Y)=√V(Y) =3√5 113 Xのとりうる値は 0, 1, 2であるBII それぞれの値をとる確率は 2CoX3C2 3 25C2 の席に とによ P =P =P I P よって 3 106 10 EC P(X=k)= k-1C2(k-1) ① C2 n(n-1) また, k=1のときは起こりえないから P(X=2) = 2C2×3C0 5C2 = 1 10 P(X= 1) = 0 よって F(X)=0. 3 6 4 +1. +2. E したがって, k=1のときも①は成り立つから, 1≦k≦nのとき 10 10 10 E(X2)=02.. 3 +12.. 2(k-1) P(X=k)= n(n-1) 10 10 6 +2². 10= ゆえにV(X)=E(X2)-{E(X)}2 4\2 9 =1-0 5