*489 放物線y=x2-4x+3 と, この放物線上の点 (4,3), (0, 3)における接線 で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 □ 490 放物線y=x-x+4に点(1,0)から2本の接線を引くとき,放物線と2 本の接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

すな 左 よゆわりう ら 489 y=x2-4x+3から y'=2x-4 S=Sol(-2x2+3x)-x2}dx Sは +flx2_(-2x2+3x)dx 3 -x3+ + x3_ 72 490 y=x2-x+4から y'=2x-1 接点の座標を (t, t2 - t+4) とすると, 接線の傾 2t-1となるから,その方程式は y-(t2-t+4)=(2t-1)(x-t y=(2t-1)x-t2+ 4 ... ① すなわち この直線が点 (1,0)を通るから 3 0=(2t-1)・1-t2+4 x=4のとき y'=4 整理する よって, 点 (4,3)におけ 2 t2-2t-3=0 る接線の方程式は 0=(8 これを解くと y-3=4(x-4) とす t=-1,3 すなわち y=4x-13 よって、 接線の方程式は, -1 x=0のとき 3 x y'=-4 よって, ① より y=-4x+3 (0,3) における接線の方程式は 20 -3=-4(x-0) 12 すなわち t=1のとき y=-3x+3 y=5x-5 この2つの接線の交点のx座標は,方程式 し t=3のとき したがって, 求める面積Sは,図から S=S_,{(x-x+4)-(-3x+3)dx S1 -1 +f(x_x+4)-(5x-5)}dx =S, (x+2x+1)dx+ f(x26x+9)dx -1 =2√(x²+1)dx+√(x²- 3 (x26x+9)dx S x3 1=2 +x .3 16 -3x2+9x 3 3 3 4x-13=-4x+3を解いて x=2 図から, 求める面積Sは ・(*) S=S{(x²-4x+3)-(-4x+3}}dx +f^{(x-4x+3)-(4x-13}}dx =Soxdx+S(x28x+16)dx 372 x 3 - -4x2+16x 16 3 別