□ 197 右の図のような △ABC がある。△ABC の内心をI,内接円と辺 AB, BC, CA の接点を, それぞれ D,E,Fとする。 また, AI の延長 とFE の延長の交点をGとする。 このとき, AGF∽△ABI であることを証明しなさい。 D. E ser A F B E G a

197 △AGF と △ABIにおいて, AIは ∠BAC の二等分線であるから <GAF = ∠BAI ① ∠BAC=2a, ∠CBA = 26,∠ACB=2c とおくと, △ABCにおいて 2a+26+2c = 180° a+b+ c =90° ② △CEF は,CE=CF の二等辺三角形であるから ∠CFE=(180°-2c)÷2=90°-c したがって ∠AFG=180°-(90°-c) =90°+c ... ③ 一方,△ABI において, ∠BAI = a, ∠ABI=6 であるから ∠AIB=180°-(a+b) ②より, a+b=90°-c であるから ∠AIB=180°-(90°-c) ③ ④ より =90°+c ...... ④ **** ⑤ ∠AFG= ∠AIB ①⑤より,2組の角がそれぞれ等しいから △AGF △ABI