424 重要 例題 9 既約分数の和 0000 は素数,m, n は正の整数でm<nとする。 mとnの間にあって,かを分 する既約分数の総和を求めよ。 10/19 指針 10 11 9 7 8 3' 3'3'3' 12 13 3'3' であり,既約分数の和は(*)の和から,3と4を引くことで求められる。 解答る。 pm<g<pnであるから g=pm+1,pm+2, pn-1 g_pm+1pm+2 pn-1 よって ①初項 pm+1 p Þ p Þ ・ 公差 これらの和をS とすると の等差数列。 (pn-1)-(pm+1)+1/ S₁= 1 ( pm + 1 + S=(a+1) p このように、全体の和から整数の和を除く方針 で求める。 まず,g を自然数として,m<<nを満たす 2と5の間にある整数である。 を求め 「との間であ ら、両端のと まない。 まず、具体的な値で考えてみよう。 例えば, 2と5の間にあって3を分母とする分析 等 14 3'3 の (*) の (*)は等差数列であり、3と =pn-pm-1(m+n) 2 ①のうち, が整数となるものは Þ q =m+1,m+2,......, n-1 Þ mnの間にある整 これらの和をS2 とすると (n-1)-(m+1)+1 S2= -{(m+1)+(n-1)} ◄S.= n(a+1) 2 n-m-1 = 2 -(m+n) ゆえに、求める総和をSとすると, S=S-S2 であるから s=pn-pm-1(m+n)- n-m-1 2 2 = 1/1/1 (m+n) = 2 (m+n){(n-m)p-(n-m)} -1212(m+n)(n-m) (p-1) (m+n) (全体の和) (整数の

X= 2=2のとき 昇+2=1/2 以上よりPは 2=-1のとき最大値3 x=2のとき最小値 6m 例9 P=素数 min:正の整数、men. manの間にあって、Pを分母をする 既約分数の和をSとする S=1/12(mth) (pm-pnt2) 例 何ごと 3と4 9 10 3-1個 3333 16171819 20 555,5 5 5-1個 Si P+12個 m mtl m+2 n-1 n PA PIPI PP, P-1個 Sは初項、公差、未項、 P 項数P+2個の和だから、 S=1/2(p+2)(n+1) P+2mth == 2 = (P+2)(mith) 2P P また、mからいまでの整数の和をS2 とすると、S2は初項m、末項に、 公差1、項数n-mtl 個より S2=1/2/2(n-m+1) (mth) よって、 S=S-S2 (p+2) (mth) + (n-m+1) (mtn) 2P {(m+n)|(p+2)-p(n+m+1)} =1/2(mth)/p42-patomyp)