(2) 右の図2のように、 同じ大 きさの正方形を、頂点と辺が 重なるように横一列に並べ、 並べた正方形の頂点と対角線 の交点に自然数を1から順に 図2 2 規則的に書いていく。 3 6 8 9 10 13 14 左から数えて番目の正方形の4つの頂点に書かれた自然数を小さい方から順にα、 b、c、d とす る。 例えば、n=3のとき、 α=7、 6=8、 c=10、 d = 11 となる。 このとき、次の①~③の問いに答えなさい。 ① a n を用いた式で表しなさい。

3 次の「ほ」「ま」にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。 ab + cd の値が58 でわって6余る自然数となる正方形を 良い正方形と呼ぶことにする。 、 1番目から順に見ていったとき、 はじめて現れる良い正方形はほま番目の正方形である。

① 対角線の交点に書かれた数は 3 と表せる。 αは対角線の交点に書かれた数より2小さいから、a=3-2 ①と同様に考えると、 6=3n-1、c=3n+1、 d=3n+2と表せるから、 cd-ab= (3n+1) (3n+2)-(3-2)(3n-1)=(9n²+9n+2)-(9n²-9n+2)=18n ③ m を整数とすると、ab+cd-6=58m① と表せる。ab+cd-6=2(9m²-1)=2(3n+1)(3n-1) ①、②より、(n+1) (3n-1)=29mが成り立つ。 29は素数だから、 3n+1または3n-1が29の倍数とな る。 3n+1=29のとき、 n= で、nが整数でないので不適。 3n-1=29のとき、 n=10 28 3 ab+cd-6= m m 58