56 第2章 数列の極限 応用問題 実数に対して、「ェを超えない最大の整数」を[z]と書くことにする 例えば [1.5]=1, [2.4]=2, [3]=3 である、数列{an)の一般項をαn= [72] とおく。 (1) 1, 2, 3, a を求めよ. (2) 実数ェに対して, x-1<[x] ≦ x であることを示せ. (3) はさみうちの原理を用いて,次の極限を求めよ. an lim 11-00 n 講 [x] という記号をガウス記号といい, xを超えない最大の整数を表 します。 ガウス記号の意味を、図形的に見ておきましょう。 数直線 に,下図のように整数の点(格子点)をとります。このとき,[x] は数直線 実 で h

解答 2 a2= |=[1]=1. (1) a=[]=(0.5)-0. a-]-1-1 3 as[2]-[1.5]=1. a=[2]-[2]=2 (2) [x] は,数直線上でxから左 (自分自身も含む) にある最も近い格子点(右図) なので [x]≤x<[x]+1 ① より [x]≦x, ②より x-1<[x] なので x-1<[x]≤x [x] x [x]+1 I 格子点

コメント 例えば, [x] =1となるのは1≦x<2の 実数 [x] =2となるのは2≦x<3の実数 です。 y= [x] のグラフは,右図のようにな ります。このグラフから, x-1<[x]Sx を 読みとることもできます。 (3) (2)より 2 すべての辺をnで割って すなわち 57 1=2 y=x-1 -1 -y=[] -2 第2章 1 1 an 1 S 2 n 72 2 1 1 1 1 1 (左辺も右辺も lim lim ∞2 2 ∞2 2 n→∞で に収束する なので、はさみうちの原理より an 1 lim = n 2 コメント 厳密にいうならば、[号のイ 72 1 n の値は, nが奇数なら nが偶数なら 2 2 2 です。ただ,nが大きくなれば、こんな1/12 程度の増減はあってもなくても同 じですから, 大ざっぱに < = と見積もってしまうのが,ここ でのポイントです。