π 1.0% 0 <0</ を満たす実数とし, a=2sin0cos 20, b=cos"20+ cos"0-1, C=COS "COS" 20-cos" 0+1 とする。 以下の問に答えよ。 (配点25点) (1) α>0を満たす0の値の範囲を求めよ。 (2)6>0を満たす0の値の範囲を求めよ。 (3) 0 が a>0 かつ 6>0を満たす値であるとき, a, b, c を3辺の長さ とする三角形は直角三角形であることを示せ。 (4)0 が α>0 かつ 6>0を満たしながら動くとき, αの最大値を求めよ。 また, αが最大値をとるときのb, c の値を求めよ。 20

1. 三角関数 【数 学】 〈文科系〉 00 << を満たす実数とし, a=2sincos 20, b=cos220+cos20-1, c=cos220-cos20+1 とする. 以下の問に答えよ. (1) α>0を満たす日の値の範囲を求めよ. の値の範囲は, 0<0< (25点) 1-cos20=sin' 0 であるから, (3)(1),(2)の結果から,> かつら>0を満たす 8 π c=cos220-cos20+1 =cos220+sin20>0. また, b=cos220+cos20-1 =cos220- sin20. (2) 6>0を満たす0の値の範囲を求めよ. (3) 0が α > 0 かつ 60 を満たす値であるとき, a, b, c を3辺の長さとする三角形は直角三角 形であることを示せ. よって, a2=4sin' Ocos220, b2=(cos220-sin'e)2 =cos^20-2sin' Ocos220 + sin^0, c2=(cos'20+sin'6) 2 【 (4) 母が α > 0 かつ 6>0を満たしながら動くと きαの最大値を求めよ. また, αが最大値を とるときのb,cの値を求めよ. =cos 20+2sin' n20cos220+sin 日 であるから, a2+62=c2 【解答】 が成り立つ. (1)a=2sinOcos20であり,<< において, 2sin0 0 であるから, したがって, a, b, c を3辺の長さとする三角形 は,直角三角形(斜辺の長さはc) である. (証明終り) cos 200 を満たすの値の範囲を求めればよい. 00より,020 <πであり,このうち cos 20 0 となる20の値の範囲は, 0<20 よって, α>0を満たす6の値の範囲は, 0<0< 2) cos20=2cos20-1であるから, b=(2cos2d-1)^+cos20−1 =4cos^0-3cos2d =4 cos² cos²0- =4cos' - 4 cos³ of cos 0+13) (cos 0-√3). 001において、 2 +)>0 (4)08<吾のとき,t=sin0 とおくと, 0<t</ であり, cos20=1-2sin'0を用いて, a を tで表 すと, ここで, とおくと, より、 2 a=2sinocos 20 =2sin0(1-2sin20) =2t(1-2t2). f(t)=2t(1-2t2) f(t)=2t-4t3 = -4t3 +2t f'(t) = -12t2+2 4 cos2d coso+ 2 であるから, COS - ->0 すなわち cos > 2 を満たすの値の範囲を求めればよい. よって, 6>0を満たす0の値の範囲は, うになる. = -12 (121) (-1) (+)-- よって, 0t< における f(t)の増減は次のよ

COS² 20 TCOS³ 0-1 = cos 20 + 100520 -1 2 = cos 20+ cos(9 |- 270 200520+ cos20-70 (cos20+1)(2005204) >0. ので COS20.75, COS20<-I 20. <3 19 () > 0 276 TL < 3.