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２
K君の考え方を使うと、
x²-3y²＝1
→ (x+√3y)(ｘ-√3y)＝1
x＝2、y＝1のとき、元の式は成立するので、
→ (2+√3)(2-√3)＝1
両辺2乗して、
→ (2+√3)²・(2-√3)²＝1
→ (7+4√3)・(7-4√3)＝1
から、x＝7、y＝4
さらに2乗して
→ (7+4√3)²・(7-4√3)²＝1
→ (97+56√3)・(97+56√3)＝1
から、x＝97、y＝56
別の方法であと1つを求めます。
最初の(2+√3)を使って、
(2+√3)²＝7+4√3
これって、２つめのx＝7、y＝4があってますよね。
じゃあ、3乗してみると、
(2+√3)³＝(2+√3)²・(2+√3)
＝(7+4√3)(2+√3)
＝26+15√3
4乗してみると、
(2+√3)⁴＝(26+15√3)(2+√3)
＝97+56√3
これで、3つめのx＝97、y＝56 が出てきました。
だから、3乗した時の、x=26、y＝15も正解になります。
追加の質問を消されてしまったようで…遅くて申し訳ありません。
既約分数をn/mとおく。(nとmの約数は1のみ)
m+n=69 から
m＝69-m にして、
(69-m)/m＝69/m-1＝√19
になるmを考える。
→ 69/m＝1+√19
両辺ひっくり返して
→ m/69＝1/(1+√19)
→ m＝69/(1+√19)
4＜√19＜5 から
→ 1+4＜1+√19＜1+5
全部ひっくり返して、(分母分子をひっくり返すと不等号の向きが変わる)
→ 1/5＞1/(1+√19)＞1/6
×69して、
→ 69/5＞69/(1+√19)＞69/6
→ 13.8＞69/(1+√19)＞11.5
→ 13.8＞m＞11.5
これより、m＝12,13のどちらか。
m＝12のとき、(69-12)/12＝57/12
これは約分できてしまうので×
m＝13のとき、(69-13)/13＝56/13