130 連立型漸化式 a=2,b=1, an+1=2a+bn (n≧1) ...... ①, bn+1=an+2bn (n≧1) ...... ② をみたす数列{an},{bn}がある。 (1) an+bn=C とおいて, 数列{cn} の一般項 Cn を求めよ. (2) an-bn=dとおいて,数列{d} の一般項 d を求めよ。 (3) an, bn をnで表せ. 精講 (1) an+ón を C とおくように指示されていますが,このとき a+b を作るのではなく, 与えられた漸化式の一番大きいところ つまり, an+1, bn+1 をみてgn+1+bx+1を作ろうと考えます。 すなわち, ①+② を作ります。 (2) ①②を作ります。 (3) an+bn=Cn, an-bn=dn より, an=- =/12/2(cm+dn), bn=1/2(cm-dn)です。 Cn 解答 (1) ①+② より an+1+bn+1=3(an+bn) . Cn+1=3Cn ここで,C=a+b1=3 だから, 数列{C} は初項3, 公比3の等比数列である. よって, Cn=3.3n-1=3n (2) ①②より (an+1+bn+1=C+1 an+1-bn+1=an-bn よって, dn+1=dn, d=a-b=1 だから, lan+1-bn+1=ds+1 |dn+1=1d 数列{dn} は,初項1, 公比1の等比数列である. ∴. dn=1・1"-l=1 注 dn+1=dn より,dn=dn-1==dとしてもよいし、 dn+1=dn+0 と考えて,公差 0 の等差数列と考えてもよい。 an+bn=3" an-bn=1 ......(3 ・④

an= 2 2 参考 この問題では, ①+② と ① ② を作ると等比数列ができましたが、 もし、何も誘導がついていなかったら①,②の扱い方がわかりませ ん.そこで,どうしたら ①+② ①-② を見つけてこられるのかお 話ししておきましょう。 ①+② xpより, an+1+pbn+1=(2+p)an+(1+2p)6円 1:p=(2+p):(1+2p) が成りたつので, ここで, 数列{an+pbn} が等比数列となるようなかを考えると p(2+p)=1+2p ∴. p=±1 .. p²=1 よって, ①+② ① ② を作ると等比数列ができる。 入試問題の場合は,たいてい誘導がついていますから指示に従