例題11 1/24 実数x1, ...... xn (n≧3) が条件 2k-1=2k+2k+1>0 (2 ≤k<n-1) ★★★ L 30分 をみたすとし,x1, ......, In の最小値を とする。このとき x= m となるl (1≦l≦n) の個数は1または2であることを示せ。 (京大文系00前)

実行 与式より, xk+1XkXkXk-1 (2≤ k ≤n-1) であるから,Xk+1-Xk=yk (1≦k≦n-1) とおくと, yk>yk-1 (2≦k≦n-1) つまり, yi<yz <ys< ...... < yn-1 よって,y1,y2,…, yn-1 の正負は次のいずれかである。 (i) 01 <y2< (ii) yi<y< (iii) (iv) yi<yz < (i) のとき yi<y< ･･････ <yk-1 <O<yk< ...... <yk=0< ...... ...... <yn-1 <yn-10 <yn-1 (k=2,3, ....., n-1) ... n − 1) <yn-1 (k=1,2, ..., y1yn-1 はすべて正, すなわち, X2-x1>0,x3 - x2 > 0,....., In-In-1>0 X2 > X1,X3 > X2, ・・・・・・, Xn > Xn-1 であるから, Xi<X2<x<...... <Xn-1<In よって, x=mとなるlは1=1の1個だけである。 (ii) のとき Vi〜yn-1 はすべて負, すなわち、 であるから, X2<X1, X3 <X2, …………… In < In-1 >xn-1>xn x1 > x2 > X3 > よって, x=mとなるlはl=nの1個だけである。 ( )のとき Vi~yk-1 は負, Ve~yn-1 は正,すなわち, X2X1, X3 <X2, ....... xk < xk-1, Xk+1 > Xk, ...... In > In-1 であるから, X1X2>X3 > …> Tk->1k, 2k<k+1<…<n-n よって, x=mとなるlはl=kの1個だけである。 (iv)のとき V1~yle-1 は負, yk = 0, yk+1~yn-1 は正,すなわち, X2 <X1... xk < Xk-1, Xk+1=Xk, Xk+2>Xk+1, ...... In > In-1 であるから, 1>$2>…> Ck-1>k, k=k+1, 2k+1<k+2<! ･･････<xn-1 <In よって、x=mとなるlはl=k, k+1の2個である。 以上 (i)(iv) より x=mとなる1の個数は1または2である。 テーマ11 不等式 ③ 83

セカ京四 以上①~④から、赤せた。 min スト-1 - 2xk+tk+1 ○は と変形でき これはえい " 数列の項の隣同 土の 差 が することを意味する。ニンでスコーズの差に注目して 以下の4つの場合について考える。以下で、 (a,b,co)(A,B,CCO)(2=W,BE)とする。 0 n x1, x2, x3 ... → となり、Ocacbcc・・・より、 →→ ta th +c 焼くたくx…くないより、ただ1つが ・最小値をとる ③ x=-x10の時 ス1122173 → → 40 → ta となり、Ocacb・・・ より、 ③とまとめられる。 th. スに入っス…く火のより、リオンでただ2つの最小値を とる。 項の差 で0をとる時がある時 スリ×21×3 xx, x ß, x+... となり、 → → → +A +B +C to ta ACBC ···くCCoca 811 X17x27x3>xx=xB ④a <xxxn となり、 又、根でただ2つの最小値をとる。 修正 X2-X1COで、 項 差でととらない時 x11x21x3 xv.相、火ト・・・となり、ACBcccach → S +A +8 花見の場合もあるので よりオインメント>Icxxょく…くいより次のでただ1つの最小値をとる 0 x2 12. Xi x(2 x3 22 → 0. XI x2x x11x2/23 → +A → ... xxx B x x - xu → →→ TB + c ta +b xx が x11x21 x3 min 12 xn → → → +A +B +c xcu が min