独立な確率 41 硬貨とさいころを同時に投げるとき, 硬貨に表が出たら1 変数の積 裏が出たら0となる確率変数をXとし, さいころの出た目の数 をYとする。 このとき, 確率変数XY の期待値を求めよ。 ポイント② XY の期待値 XとYが互いに独立ならば E(XY)=E(X)E(Y) ★★ 独立な確率 42袋Aには赤玉2個, 白玉3個, 袋Bには赤玉3個, 白玉2個 一が入っている。 それぞれの袋から2個の玉を同時に取り出すと 変数の和 き取り出した計4個の中の赤玉の個数をZとする。 確率変数 Zの期待値と分散を求めよ。 ポイント③ X+Y, aX + bY の分散 XとYが互いに独立ならば V(X+Y)=V(X) +V(Y), V(aX +6Y) =α V (X) +62V(Y)

Bは独立である。 41 X, Yの確率分布は,それぞれ次のようになる。 よって X P Y P 計 1 112 012 616 51-6 416 |3|16 216 116 E(X)=0x- 1/2+1×1/2=1/2 +3× E(Y)=1x- 1x/+2x/+3 確率変数 X と Yが互 いに独立ならば E(XY) = E(X) E(Y) 計 1 CA ← X, Y の期待値を求める。 SXA +4x+5x+6x= 7 2 XとYは互いに独立であるから, 求める期待値は E(XY) = E (X) E (Y) 17 7 = = 22 4 ← - X と Y が互いに独立

224 サクシード数学B 42袋 A, B から2個の玉を同時に取り出したときの赤玉の個数を、 それぞれ X, Yとする。 Xのとりうる値は 0, 1, 2である。 ■確率変数XとYが互い に独立ならば V(X+Y) =V(X) +V(Y) それぞれの値をとる確率は H P(X=0)=3C2 3 2C1-3C1 6 = P(X=1)= 5C2 10' 5C2 10' P(X=2): 2C2 = 5C2 = 10 X 0 1 2 計 よって,Xの確率分布は,右のように なる。 3 + 6×1 P 1 10 10 10 同様に,Yの確率分布は,右のように なる。 0 Y 0 1 2 計 したがって 1 P 3 E(X) = 0x +1x +2x 10 10 $5 6 3 10 1=00 7.001/A 001=1-01+.001= E(Y) BTY)=0x+1x+2x- 6 3 6 == 5 Z = X +Yであるから, Zの期待値は =(80A9 8/980円 E(Z)=E(X+1)=E(X) +E(Y) = =2 3 10 またE(X2)=02x- +12x +22x =1 6 10 10 A E(Y2)=02x1/10 + 6 10 +12x- +2' x 1/1 1/3 3 9 sa 10 5 よってV(X) = E(X^2)-{E(X)12=1-(13) 2 9 = 25 TAYS 2 V(Y)=E(Y2)-{E(Y)}'= 9 6\2 5 5 XとYは互いに独立であるから,Zの分散は PU 2 V(Z)=V(X+1)=V(X) +V(1) = 9 910 =25 9 = + 25 25 I 18 25 44