f(x)=x+∫[0→1](x+t)f(t)dt

f(x)=x+x∫[0→1]f(t)dt+∫[0→1]tf(t)dt

∫[0→1]f(t)dt=a, ∫[0→1]tf(t)dt=b
(a、bは定数)

f(x)=x+ax+b=(a+1)x+b

> f(x)は 1次関数(a=/=-1) or f(x)=b(a=-1)

A)a=-1
f(x)=b ---(1)
(1)を定積分[0->1]
∫[0->1]f(x)dx=b
∫[0->1]f(t)dt=aだったので、
a=b=-1
f(x)=-1

∫[0->1]xf(x)dx=∫[0->1](-x)dx=-1/2=/=b=-1なので矛盾

B)a=/=-1
f(x)=(a+1)x+b ---(2)
(2)を定積分[0->1]
∫[0->1]f(x)dx={(a+1)x²}/2+bx [0->1]
a=(a+1)/2+b
a=2b+1 ---<1>

(2) × x
xf(x)=(a+1)x²+bx ---(3)
(3)を定積分
∫[0->1]xf(x)dx={(a+1)x³}/3+(bx²)/2 [0->1]
b=(a+1)/3+b/2
3b=2a+2 ---<2>

<1>、 <2>から
b=-4, a=-7
f(x)=-6x-4

>> f(x)=-6x-4