sinというのは「sin角度」で一つの数を表すものであり、sin単体では値を持たない。なので「sin角度」はsin×角度というわけではないので、画像のように分配法則は使えない。f(x)がf×xではないのと一緒だ。まぁ、添字というイメージです。

ちなみに「sin(α+β)⇒sinα+sinβ」が成り立たない事を示すだけであれば、反例を一つでも挙げれば良い。α=90°、β=90°のとき、
sin(90°+90°)=sin180°=１
sin90°+sin90°=1+1=2
となり、これは命題の反例となる。
よって、命題は偽である。