頂点がすぐにわかる形（頂点形式）で答えるのがベストな場合と、y=ax^2+bx+c の形（一般形）で答えるしかない場合があるからです。

左側の問題：y=2x^2 の平行移動
この問題のポイントは、元の式 y=2x^2がシンプルな形をしていることです。このグラフの頂点は(0, 0)です。
これをx軸方向に4, y軸方向に3だけ平行移動させると、
x を (x-4) に、
y を (y-3) に置き換えます。
このy= 2(x-4)^2+3という形は頂点形式と呼ばれます。この式の良いところは、これを見るだけで新しい頂点が (4, 3) だと一瞬でわかることです。
わざわざ展開して y =2(x^2-8x+16)+3 = 2x^2-16x+35 のような一般形にしてしまうと、頂点がどこにあるのか分かりにくくなってしまいます。そのため、頂点がすぐにわかるこの形（頂点形式）のまま答えにします。
ちなみに、計算間違いは (x-4)を展開するところです。
2(x-4)^2 は2x^2-16^2ではなく、2 (x-4) (x-4)を計算する必要があります。

右側の問題：y=2x^2+3x+1 の平行移動
元の式は y=2x^2+3x+1という一般形です。
これをx軸方向に1, y軸方向に3だけ平行移動させると、ルールは同じです。
xを (x-1)に、
yを (y-3)に置き換えます。
y−3＝2(x−1)^2+3(x−1)+1
この式を見てください。(x-1)^2 の項と (x-1) の項が混ざっていて、このままでは見づらいですよね。頂点がどこにあるのかもサッパリわかりません。
こういう場合は、式をきれいな一般形に整理するために、すべて展開して同類項をまとめます。
2x^2−x+3
このように、整理することでスッキリとした一般形の答えになります。