第2問 (配点 30) [1] 体育祭実行委員の太郎さんは、競技を行うための200mトラックをどのような 形にするかを検討している。 毎年、体育祭では、内側が長方形と半円二つを合わせた形の、下の図のような トラックを作っている。 (1) トラック内側の半円部分の半径をmとし、長方形部分の横の長さをym とする。 I m y m (数学Ⅰ 数学A 第2問は次ページに続く。)

(2) 体育祭では、リレー以外の競技を、トラック内側の長方形部分で行う。 そこ で、太郎さんは、この長方形部分の面積をできるだけ大きくしたいと考えた。 ただし、校庭の大きさも考慮し、長方形部分の縦の長さは40m以下、長方形 部分と二つの半円部分を合わせた横の長さは90m以下とする。 90m以下 D 40m以下 (3)次に、「曲線部分が短いと、カープが急で走りにくい」という昨年度の引き継 事項に注目することにした。曲線部分を長くするには、半円部分の半径を大 きくすればよいが、そうすると、長方形部分の面積は小さくなってしまう。そ こで、次のような条件でトラックの形を決めることにした。 トラックの形についての条件 ●校庭の大きさを考慮し、長方形部分の縦の長さは40m以下. 長方 形部分と二つの半円部分を合わせた横の長さは90m以下とする。 ●トラックのうち曲線部分の長さの合計は、1周の半分 100mよりも 長くなるようにする。 ●トラック内側の長方形部分の面積は、その最大値の96%よりも大 きくなるようにする。 このときのとり得る値の範囲は ウエ SI カキ ホー オ この条件を満たすようなトラック内側の半円部分の半径 xmの範囲は コ シス <x< πC である。 ①と②よりSをェの同数として表すことができる。 これを②の範囲で考え ると,トラック内側の長方形部分の面積が最大となるのは. 半円部分の半径が スクケ である。 mのときである。 (数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。) (数学Ⅰ. 数学 第2は次ページに続く。)

第2問 (1) (1) 長方形部分の靴の長さが2cm 横の長さがμmであるから,その面積Sは S=2xy ① ① また、トラックは,内側が半径mの半円二つと長方形を合わせた形で周 の長さが200m であるから より 2x+2y=200 y=100-π (2) まず、辺の長さは正であるから r>0, 100 —>0 より 0<x<100 πT 長方形の縦の長さについて 2.x 40 x ≤20 長方形部分と二つの半円部分を合わせた横の長さについて 2x+y90 2x+ (100-πx) 90 (-2)x≧10 よって 10 x≥ π-2 10 100 0 < <20 < π-2 π であるから, 以上より,xのとり得る値の範囲は 10 ≦x≦20 π-2 ①②よりy を消去すると S=2x(100-πx)=-2π 2π (x – 50 ) 5000 + π よって、③の範囲でSが最大となるのは,= 50 のときである。 50 10 πC π-2 (3) トラックのうち曲線部分の長さの合計は、1周の半分 100m よりも長くな るようにするから 2nx > 100 50 x > T トラック内側の長方形部分の面積は,その最大値の 96% よりも大きくなるよ うにするから 40 (π- また (-2) 20-50 TC 20 (7) よって _5000_ 2x(100-πx)> 96 100 TT (πx)2-100πx+2400 < 0 (πx-40) (πx-60) <0 40 <x< 60 π πC 10 40 50 π-2 πT <<<<20より 60 π 50 60 <x< TC TC したがって、 >3より 10 50 π-2< <20 7C 1001+ = - ② -6- _40_ TC 10 π-2 また 0 ( (-2) 60 20- TC 20(-3)