47 軌跡(V) mを実数とする.ry 平面上の2直線 mx-y=0... ①, について,次の問いに答えよ. x+my-2m-2=0 ...... ② (1)①,②の値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る。 A,Bの座標を求めよ. (2) ①,②は直交することを示せ. (3) ①,②の交点の軌跡を求めよ. (1) 「mの値にかかわらず」とあるので,「mについて整理」して、 精講 mについての恒等式と考えます. (37) (2)② が 「y」の形にできません. (36) (3) ①,②の交点の座標を求めて, 45 のマネをするとかなり大変です したがって,(1),(2)を利用することを考えます.このとき45の IIIを忘れてはいけません. 解答 (1)m の値にかかわらずmx-y=0 が成りたつとき,x=y=0 .: A(0, 0) ②より (y-2)+(x-2)=0 だから .. B(2, 2) mについて整理 (2) m・1+(-1) ・m=0 だから, |36 ① ② は直交する. (3)(1),(2)より, ①,②の交点をPとすると ① 1 ② YA より,∠APB=90° 2 B よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A, Bを直径の両端とする円周上にあるこの円の中 心は ABの中点で(1,1) O A/ 2 x また, AB=2√2より半径は√2 よって, (x-1)+(y-1)²=2 ここで,①はy軸と一致することはなく, ②は直線 y=2と一致する

ことはないので(注),点 (0,2) は含まれない. よって, 求める軌跡は 円 (x-1)2+(y-1)2=2 から、点 (0.2) を除いたもの. 77 8A 注 一般に,y=mx+n型直線は,y軸と平行な直線は表せません. それは,yの頭に文字がないので,m, nにどんな数値を代入しても が必ず残って,x=k の形にできないからです. 逆に,xの頭には文 字がついているので,m=0 を代入すれば,y=nという形にでき, 軸に平行な直線を表すことができます。 参考 45 の要領で ① ②の交点を求めてみると, 2 (1+m) 2m(1+m) x= y=- 1+m² 1+ m² となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく、除外点を見つける こともタイヘンです。もしも誘導がなければ次のような解答ができます. こ れが普通の解答です. x=0 のとき, ①よりm=y IC ②に代入して,x+y° 2y -2=0 xで割りたいの でx=0, x=0 で場合分け 21 IC IC :.x2+y2-2y-2x=0 ...(x-1)2+(y-1)²=2 次に, x=0 のとき,①より,y=0 これを②に代入すると,m=-1 となり実数が存在するので, 点 (0.0) は適する. 以上のことより, ① ② の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)²=2 から点 (0.2) を除いたもの. ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は, ある円周上にある. その際, 除外点に注意する I