次の問いに答えよ。 2 □(1) 実数xyに対し(1+s)(1+y)/(1+) を示せ。また、等号が成立するの どのようなときか。 □(2) a,b,c,d を -1以上の数とするとき 2 (1+a)(1+8)(1+c)(1+d)s (1+a+b+c+d)* を示せ。また,等号が成立するのはどのようなときか。 ('08 大阪市立大商,経済,医,生活

(1) 実数x, y に対し, (右辺) (左辺)= (1+x+2)-(1+x)(1+y) A =1+(x+y) + 1/(x+2xy+ y°)-(1+x+y+xy) 4 =1/(x²-2xy+y) (x- 20 よって, (1+x)(1+y)/(1+x+y) 2 23 また,等号が成り立つのは, (x-y)=0 すなわち, x=yのときである。 (証明終わり) 振り返り □ (右辺)(左辺) ≧ 0 を示すことで不等式の証明ができたか A POINT 1 不等式 A≦B 基本はB-A B 基礎事項 実数の性質 αが実数のとき, a² ≥0 等号成立は α=00

(2)(1)より, (1+a)(1+b)s (1+a+b 2 (1+c)(1+d)s (1+c+d) 2 C © ①は(1)で示した不等式でxを. a, b, c, dは-1以上の数より, ① ②の左辺は0以上であるから, D ① ② を辺々掛けて, (1+α)(1+b)(1+c)(1+d)≦(1+ 1) ≤ ( 1 + a + b )² ( 1 + c + d ) ² a+b 2 2 さらに,(1)より a+b c+d 2 a+b 1+ 2 ½) (1. 1+ c+d 2 + 2 2 ≦1+ 2 すなわち, (1 + a + b ) ( 1 + c±d ) ≤ (1+ a + b + c + d ) ² 2 2 a, b, c, dは-1以上の数より a+b ≧-1, ctdz-1 ≧-1 2 2 2 4 よって、④の左辺は0以上であるから, (1+a+b)(1+c+d)s (1+a+b+c+d)* ⑤より, 2 (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦ (1tatbte+d)* E ....... 3 a+b+c+d また、等号が成り立つのは, 1, 2, 4 のすべてにおいて等号が成り 立つときより, G a=b かつ c=d かつ a+b 2 c+d 2 すなわち, a=b=c=dのときである。 yをとした式であり、②はxを c.yをdとした式である。 D POINT 2 証明した不等式を利用す るときは符号と等号成立 条件に注意する ABかつCSDならば ACS BD が成立するのは、 OSASBかつSCSD のときである。 したがって, ①②の左辺がと もに0以上であることは必ず 認しなければならない。 E思考力 ③の右辺をさらに大きくして目 的の不等式の右辺の形にしたい。 そこで, (1) で示した不等式のェ をaib に,yを stdとした 落とし穴 ④から⑤を導くときには、 ASBならばA'SB を使っているが、これが成立す るのは、 0≤A≤B のときである。したがって、 1+a+620 と 1+6+d2 (証明終わり) は必ず確認しなければならない 振り返り CHECK □ (1)の不等式を符号と等号成立条件に注意しながら利用して,(2)の不等式の証明をすることができたか G 思考力 (2)の証明の流れは、 12➡3 結論の不等式 となっている。したがって 論の不等式の等号が成立する 合は、スタートとなった不等 ①,②, ④の不等式の等号が べて成立するときである。 ①の等号が成り立つのは、 a=bのとき、②の等号が成り 立つのは、c=dのとき、④の 等号が成り立つのは、