いいえ、Pは別にx=±2√3にあっても、
条件を満たし得ます

最初に接線をy=m(x-……
みたいな感じでおいているのではないか
と思います

この場合、上の接線の式だと
y軸に平行なタイプの接線を
表すことができません
このタイプは「x=(定数)」の形だからです

Pのx座標が±2√3のとき、
接線はy軸に平行なタイプになり得るので、
「まず」「いったん」±2√3でない場合
を考えているのでしょう

あとでちゃんと±2√3の場合も
考えているはずです