必解 86 105.〈帯電した導体がつくる電場〉 次の文中のに適切な数式または数値を入れよ。 ただし, 数式は, ko, a, b, x,Q のうち必要なものを用いて答えよ。 ガウスの法則によると, 任意の閉曲 面を貫く電気力線の密度は電場の強さ に等しい。例えば, 真空中で点電荷を 中心とする半径の球面を仮定して考 えれば,点電荷から出る電気力線の本 数を球の表面積でわった値が球面にお ける電場の強さとなる。 そのため,電 金属球 M Q 図 1 -a- なぜここ電場ない 金属球殻N 図2 0,0 図3 気量g (g>0) の点電荷から出る電気力線の本数 n は, 真空中でのクーロンの法則の比例定数 ko を用いて, n=ア と書ける。 図1のように, 真空中に半径aの金属球Mがあり, Q(Q>0) の電気量をもつように帯電さ せた。金属球Mの中心Oから距離xだけ離れた点における電場の強さ E,電位Vについて考 える。 ただし, 電位Vは無限遠方を基準とする。 x≧a のときは,金属球Mから出る電気力線は金属球Mの中心から放射状に広がると考 えられるため, 電場の強さEは,E=イとわかる。 また, その点の電位Vは, V=ウである。 また,x<a のときは, 導体内部の電位は導体表面の電位と等しく, 導体内部に電気力線 が生じないことから,E=エ, V=オとなる。 図2のように,内半径 6, 外半径cの金属球殻Nがあり,-Qの電気量をもつように帯電 させた。このとき,金属球殻Nが球殻内部の真空の空間につくる電場は,内部に発生する電 気力線のようすを考えると0である。 次に,図3のように,真空中で,金属球殻Nで金属球Mを囲い, 金属球殻Nの中心 O′が金 属球Mの中心Oに一致するように配置した。ただし,a<b<cであり、金属球Mの電気量は Q,金属球殻Nの電気量はQのままであるとする。このとき中心から距離 x(a<x<b)だけ離れた点における電場の強さ E' は, 金属球 M, 金属球殻Nがそれぞれ単 独でつくる電場を足しあわせた合成電場の強さであるので,'=カである。また,金 属球殻Nに対する金属球Mの電位 VNM は, 金属球殻Nの内部には電気力線は生じないので, VNM=キである。 金属球Mと金属球殻Nは, 電位差 VNM を与えればQ の電気量が蓄えられるコンデンサー とみなすことができる。このコンデンサーの電気容量Cは,C= である。 [20 関西大〕 無限遠基準やから 1Cのとこの電位が nbのとこの電位じゃないん?

0 1/200 VAZ 図 a m ヒント 105 〈帯電した導体がつくる電場> 問題を解く手がかりとなる情報が問題文の中に散りばめられているので、よく読んで解き進める。 「金属球 M から出る電気力線は金属球 M の中心から放射状に広がる電気量Qの点電荷と同じ (エ) 「導体内部に電気力線が生じない』 導体内の電場 0 (オ)『導体内部の電位は導体表面の電位と等しい』 導体表面(x=α)での電位を求める (カキ)問題文で、金属球殻Nが内部に電場をつくらないことが説明されている。 (ア) 電気量g の点電荷が離れた位置につくる電場 ◆ A 電場Eと電位V xの関数としてグラフに表 の強さ EQはE=ko2/2 + + と表せる。問題文より, 点電荷から出る電気力線 の本数nを球の表面積 4πr2でわったものが電場 の強さになるのでEq= が成りたつ。 よって ++Q+} と図bのようになる。 E n ko 4722 20 Q a² 図 a: 金属球 M による電場 n=E,x4zr2=ko72×4zr2=4zkoq a x (イ) 金属球Mから出る電気力線の本数は4mkoQである。 x離れた位置での電 場の強さEは,半径xの球の表面積 4πx2でわってE= 4лkoQ *A- =ko- 4x2 02 ko Q*A- Q a (ウ) (イ)の結果は, 中心0に点電荷Qがあるときと同じなのでV=ko_ (エ) 導体内は電気力線が0本なのでE=0A XC Q*A- (オ)導体内は導体表面と等電位より, x=αでの電位と等しく V=ko (カ)金属球殻Nは,その内部に電場をつくらないので、代入忘れず a<x<bでは金属球Mがつくる電場のみとなる (図c)。 よってE'=ko- Q B (キ) 導体内は導体表面と等電位より, 金属球M内の 電位はx=αでの電位に等しく, 金属球殼N内 の電位はx=bでの電位に等しい。 一方,(カ)で 求めた合成電場の式は,点電荷のまわりの電場の 式の形と同じである。以上より,点電荷のまわり の電位の式から、x=αのときとx=b のときの 電位差を考えると,電位差 VNM は, + + + _ + +Q+ +++ 図 C Q 0 a 図 b X B 金属球殻N中では 金属球Mの電荷に引き寄 られる静電誘導が起こる。 って厳密には,図2図3 は金属球殻Nにおける電荷 布が異なっている。 C a<x<b以外の 分の電場は点電荷のまわり 電場の式では表すことがで ないため、 無限遠を基準と た各点の電位は点電荷のま りの電位の式では求められ 電位差のみが求められる。 VNM=ko- Q Q. ko- (b-a)Q*C+ c-aとベッた -=ko- a ab ク) 「Q=CV」より C= VNM ko(b-a) →6で Q ab 等電位 物理重要問題集 113 やから