f'(2)=0より 12a+ 原点における接線の傾きが2であるから f(a) =g(a) より '(0)=-2 す-a2+ma-3=a3-a よってc=-2 ③ ① ② ③ より a=- , b=2 11089 以上から a=- -2126=2,c=-2,d=0 別解 3次関数のグラフ y=f(x) が原点を通り、 x=2でx軸と接するから f(x)=ax(x-2)2 f'(a)=g' (a) より よってm=3a2+2a-1 これを①に代入すると よって -a2+(3a2+2a-1)a_ 2a+m=3a2_1 ...... とおける。 よって f(x)=ax3-4ax2+4ax ④ ゆえに f'(x) =3ax2-8ax+4a 整理すると2a3+α2-3 = 0 よって (a-1)(2a2+3a+3)= α は実数であるから a=1 原点における接線の傾きが-2であるから ② に代入すると m=4 f'(0)=-2 よって, 点A (1, f(1)) における 式は y-(13-1)=(3・12-1 よって 4a=-2 ゆえに a=- 501-300 ゆえに y=2x-2 このとき,④ より f(x)=1/2x+2x2-2x 係数を比較して 6=2,c=-2, d=0 254 (1) f(x)=x2x とすると f'(x) =3x2-2 (+1) Jet 点 P, Q における接線の傾きが等しいとき f'(a) =f'(b) すなわち 3a2-2=362-2 よって a2=62 abであるから b = -a (ただし,a>0) ゆえに Q(-a, -a3+2a) したがって, 直線 PQ の方程式は (2) 直線 PQ の傾きは 2-2 y-(a³-2a)=(a³-2a)-(-a³+2a), (x-a) 1 すなわち y=(2-2)x 点Pにおける接線の傾きは 3-2 26 [1]f(x)が定数関数である このとき,左辺は定数で, るから,不適 [2]f(x)がn次関数 (n≧1) f(x) の最高次の項をAx" 左辺 f(x) +xf'(x) の最高 Ax”+xnAx-1 すなわち, (n+1) A ¥0で。 f(x) +xf'(x) はxの次 一方, 等式の右辺x(x-2) 式であるから n=3 したがって, f(x)は3次 f(x) = Ax3+ax+bx+B くと f'(x) =3Ax2+2 よって DAN f(x) +xf'(x) =Ax3+ax2+bx 直線PQ と点Pにおける接線が直交するとき DAG(a2-2)(3a²-2)=-1 AIO よって 3a4-8a2+5=0 ゆえに (α-1)(3a2-5)=0 キャが放物線 一方 +. =4Ax3+3ax+ x(x-2(x-3)= したがって'=1,2をさせ 5 3 >0であるから=1, √150-b これを解くと 3 Tei よって, a=1のとき P(1, -1), Q(-11) 係数を比較して 4A 1, 3a=-5 A=1½, a a=

252 平面上の点 を通り,また,曲線 y=f(x)=x+3x²+x+7 と ◆わる直線の方程式をすべて求めよ。 [12 兵庫県大] 1点でし *253 3次関数 f(x) =ax+bx+cx+d (a, b, c, d は定数) のグラフ y=f(x)は原点を通り、x=2x軸に接しており、原点における接線が y=-2x であるという。このときa, b, c, d の値を求めよ。 [12 日本歯大 ] 254 曲線 y=x-2x上の点P(a, α-2a), Q(b,6-26) (α>b) について P,Qにおける接線の傾きが等しいとき, 次の問いに答えよ。 (1)2点P,Qを通る直線の方程式をbを用いず, a を用いて表せ。 (2)(1) で求めた直線と点Pにおける接線が直交するとき,点P,Qの座標を求 めよ。 ¥255 [04 群馬大] m を定数とし,2つの曲線 y=f(x)=-x2+mx-3, y=g(x)=x-x が,点A(a, f(a)) を通り, A で共通の接線 l をもつ。 α,mの値と,接線l の方程式を求めよ。 [類 12 県立広島大 ] B 256 整式で表される関数 f(x) は常に f (x)+xf'(x)=x(x-2)(x-3) を満た す。このとき,f(x)は また, f(x) における2次, 1次 次関数である。 の項の係数をそれぞれ a, b とすると,a=,b="である。 [11 武庫川女子大 ] 257 αを定数とする。 2 つの放物線 C:y=-x2, C2:y=3(x-1)+α につ いて,次の問いに答えよ。 (1,2の両方に接する直線が2本存在するためのαの条件を求めよ。 (2) C, C2 の両方に接する2本の直線が直交するときのαの値を求めよ。 3) C, C の両方に接する2本の直線がの角度で交わるときのαの値を C2 求めよ。 [07 熊本大] f(x)=x2x とし, 曲線 C:y=f(x)上の点P (α, f(a)) における接 目を!とする

[24] = a² 2x Plaia-za) A (bia² 2a) 47-372-2 ℗ 7-(a²-2a)=(za²-2) ((-a) y = 357-30-24+20/+a²-24 = 322-22-20" y = (3-2)x-2Q³ Ⓒ J= (3-8-27x-26" PQ_b²-za-à-za 36-2=32-2 2 070 b=±a =-a (az) 4² = G² b-a -a-a -a-204-a+ya - za 2 = - 20 a² 2a= a+c -2a=c y = d x + c y = a²x-za