x軸y軸に接しているので、中心の座標は
r＞0の条件で、(r,r)、(-r,r)、(r,-r)、(-r,-r)
の4パターンが考えられます。
そして、中心(16,9)、半径9の円と外接していることから、中心同士の距離が9+rになればいいことになります。

①中心が(r,r)のとき
中心同士の距離の2乗＝(16-r)²+(9-r)²から、
(16-r)²+(9-r)²＝(9+r)²
→　r＝4,64

②中心が(-r,r)のとき
中心同士の距離の2乗＝(16+r)²+(9-r)²から、
(16+r)²+(9-r)²＝(9+r)²
→　rは実数解を持たない

③中心が(r,-r)のとき
中心同士の距離の2乗＝(16-r)²+(9+r)²から、
(16-r)²+(9+r)²＝(9+r)²
→　r＝16

④中心が(-r,-r)のとき
中心同士の距離の2乗＝(16+r)²+(9+r)²から、
(16+r)²+(9+r)²＝(9+r)²
→　r＝-16　r＞0より範囲外

よって、r＝4，16、64