練習 m は定数とする。 放物線y=f(x) は原点を通り, 点 (x, f(x)) における接線の傾 255 きが2x+mであるという。 放物線y=f(x) と放物線y=-x2+4x+ 図形の面積をSとする。 Sの最小値を求めよ。 5で囲まれる

f'(x)=2x+mであるから, Cを積分定数とすると f(x)=Sf'(x)dx=(2x+m)dx YA y=f( =x2+mx+c 0 放物線y=f(x) は原点を通るから,f(0) = 0 より C=0 したがって f(x)=x2+mx B 放物線y=x2+mxと放物線y=-x2+4x+5の共有点の |y=-x2+4, x 座標は,方程式 x2+mx=-x+4x+5 すなわち 2x2+(m-4)x-5=0 の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると D=(m-4)2-4・2・(-5)=(m-4)'+40 常にD>0であるから、 2つの放物線は常に異なる2点で交わ る。その2つの交点のx座標をα, β (α <β) とすると s=${-x2+4x+5-(x+mx)}dx=-f{2x2+(m-4)x-5}dx a =-2S(x-1)(x-B)dx=-2(-1/2)(3-4)=1/2(B-α) また a 6 B-α==(m-4)+√D_-(m-4)-VD VD 2 = 4 √(m-4)2+40 2 4 したがって, 正の数β-αは,m=4のとき最小で,このとき (B-α)も最小であり,Sの最小値は1/3(10)=1010 だから2倍 この形もげの ←α βは2次方程式 2x2+(m-4)x-5=l の解で x= -(m-4)±√D 4

練習255 f(x)=2x+m f(x)=xmx (スズナス)横 スニーズ+4+5 2x2+(m+4)-5=0 ↓ 解α.p fel - x²-142-15 - x²-mx) re -₤° (^_-_x) (x-1) dx) E ―パースプリ m_√ m² - 8 m +1440 4-m- a ß 4 4-m+vm²8m+56 4 √2-83136 2 (m-4)+40m=4でMIN p-x= 21/10 2=110 38 3