数学II, 数学 B 数学 C (2) 今年は予算の関係で, K市の住民全員に対する調査はせず, 標本調査を行っ 以下では, 今年のK市の住民全員を母集団とする。 (i) 母集団においてa を選ぶ人の割合を推定するために, 母集団から無作為に 600人を抽出し, この600人がアンケートに回答した。 このとき, a を選んだ人 の割合をRとする。 標本の大きさ600 は十分に大きいから,Rは近似的に正規 分布に従うとしてよく, Rの平均は セ 標準偏差は ソ である。 24 600人のうちa を選んだ人は240人であった。 このとき,Rの値は 60x TO タ チ であり,標本の大きさ600は十分に大きいから, pに対する信頼度 95%の信頼 区間は ツ である。 (ii) 母集団においてdを選ぶ人の割合を g とする。 標本比率が0.2 であるような無作為標本から得られるαに対する信頼度 95% の信頼区間の幅Lについて考える。 ただし, 信頼区間が m≦g ≦M のとき, その信頼区間の幅を Mm と定める。 Lを0.04以下にするために必要な標本の大きさんのうち,最小の自然数を nn とすると, no= テ である。なお, n は十分に大きいとしてよいとす る。 (数学II, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。) て

であるから 20000 は 8(16"-1) 20000 15 すなわち 16" 37501 となる、 自然数が増加すると16"も増加し 16-4096<37501, 16=4096x16>4096x10-40960>37501 よって、 X108 となる確率は P (X108) = P(X-90108-90) =P(Zz2) -P(Z≥0)-P(0 ≤ Z ≤2) -0.5-0.4772 y=f(x) =0.0228 であるから, 求めるかは 第5問 統計的な推測 である. (1) 昨年における, K 市の住民全員の商業施設Sに関するアンケー トの結果は次の表のとおりである。 a b C a 計 |割合 30% 10% 40% 20% 100% ■二項分布 表より, bを選んだ人の割合は、 であり, dを選んだ人の割 10 試行T で事象Aが起こる確率が であるとする. 240 600 5 であり, 標本の大きさ600は十分に大きいか である. =0.023 (2)(i) aを選ぶ人の割合(母比率)がである母集団から無作為に 600人を抽出したとき、標本の大きさ600は十分に大きいから、 600人のうちaを選んだ人の割合(標本比率) Rは, 近似的に正 p(1-p) 規分布 NV(b,600 2)) に従うとしてよく。Rの平均は 標準偏差は (1-2) 0 である. 600 a を選んだ人は240人であるから,標本比率Rの値は, 2 標準正規分布 N(0, 1)に従う確率 Zの確率密度関数は f(x)- で、曲線 y=f(z) はy軸に関し 称であり、次の等式が成り立つ。 P(-usZs0) = P(0 ≤Zsu), P(Z10)=P(20)=0.5. は正の数) 比率である母集団から無作 為に大きさの標本を選んだときの 標本比率R は、 が十分に大きいとき 合は1/3である。 (i) 母集団 (昨年のK市の住民全員)から900人を無作為に抽出 したとき, bを選んだ人数を表す確率変数Xは二項分布 この試行Tを独立に回行った とき, 事象Aが起こる回数を表す 確率変数を X とすると P(X=r)=C,p"(1-p)"-r (r=0, 1, 2,...,n) が成り立つ。このXが従う確率分 布を二項分布といい, B(n, p) で表 す。 近似的に正規分布 ND, 21-6) 母比率に対する信頼度 95%の信頼区間は に従う。 -1.96 × √ (1) 600 sps+1.96x, 600 母比率の推定 B(900, 1/10) に従うので,Xの平均(期待値) E(X) は すなわち 0.36080.4392 E(X)=900× 90 となるから 10 標本比率をR とすると、 標本の 大きさが十分に大きいとき母比 に対する信頼度 95%の信頼区 間は であり, Xの標準偏差 o(X) は (x)=1900×110×(1-1/10) = 9 二項分布 B(n, p) に従う確率変 数Xに対し, Xの平均(期待値), 分散、標準偏差はそれぞれ ② 20.36 0.44 である. R1-R) R(1-R) R-196x SSR+1.96x である. である. また, d を選んだ人数を表す確率変数は二項分布 E(X)= np. V(X)=np(1-p), o(X)=√np(1-p) (標本比率が0.2(-1/2)であるような大きさの無作為標 本から得られる母比率」に対する信頼度 95%の信頼区間は、 が十分に大きいとき 1 B 900 に従うので,Yの標準偏差 (Y) は である. 5 標準正規分布 (Y) = 900 x 0×× (1-2)=12 -1.96 ×√ sqs+1.96× n n 平均0, 標準偏差1の正規分布 すなわち 4 であり,(Y)は(x)の12倍 すなわち、 倍である. 3 (i) X108 となる確率を求める。 N(0, 1) を標準正規分布という. 二項分布 B(n, p) に従う確率変 X-np と 数Xに対し, Z=- √np(1-p) 0.4 mg≦0.2+1.96x- 0.2-1.96x- 0.4 √n √n である. これより 20 おくと, 確率変数Zは, nが十分に 9 とおくと, 標本の大きさ900は十分に大きいか 大きいとき 近似的に標準正規分布 L= ら Zは近似的に標準正規分布N (0, 1) に従う。 2-(0.2+1.96×24)-(0.2+1.56×24) N (0, 1) に従う, -42- -43- 文明を広め

= 2x1.96 × 0.4 である. √n de 801 Lを0.04以下にするために必要な標本の大きさは 2x1.96 × 0.4 ≦0.04 √n 13510-20- 0.0- すなわち √≥39.2 ・① 200 を満たす自然数nである。 ①の両辺は正であるから、両辺を2 乗して整理すると n≥ (39.2)² すなわち n≧1536.64 である. したがって, ① を満たす最小の自然数n の値は no=1537 である. ②