求めるものは
　(Cから赤を出したとき、Aからその赤を出す確率)
であり、それは条件付き確率の定義から
　(Aから赤を出し、Cからその赤を出す確率①)
　÷(Cから赤を出す確率②)
です

①は(3/5)×(1/2) = 3/10

②は(i)ABから赤、(ii)Aから赤、Bから白、
(iii)Aから白、Bから赤　に分けて足すので
　(3/5)×(3/7)×1 + (3/5)×(4/7)×(1/2)
　+ (2/5)×(3/7)×(1/2)
　= (18+12+6)/70
　= 36/70

①÷② = (3/10)÷(36/70) = 7/12
でよいかと思います

自分でやれた部分を示して質問してもらえると、
より適切な回答ができると思います