解答 数学 北海道メタル 3 1 解答 A 発想 / 正の約数の個数, 総和についての問題。 (1) 2"3" の正の約数は2F・3 ( x, y は整数x n)で表される数であり(x,y)の決め方1通りに対して正 の約数が1個定まるから, (x, y) の決め方の数が正の数 数となる。 (2)6912を素因数分解し (1) と同様に正の約数を考え、総和を 計算する。 次に12で割り切れる正の約数を考えるが、これは2 を2個以上,3を1個以上含む正の約数と考えればよい。その危 和を求め, 前述の総和から引くとよい。 (1) 2"3" の正の約数は2F・3 ( x, y は整数,0≦x≦m, Osy n) で表される数である。 xは+1通り,yはn+1通りの決め方があるので,正の約数の個数は (m+1)(n+1) 18 ( (2) 6912233であるから, 正の約数は 23 ( x, y は整数 0≦x≦8,0≦x≦) で表される数であり、総和は (1 + 2 + 2° + 2° + 2' + 2° + 2° + 2' + 2°) (1+3 +3 + 3) 2°-13'-1 -X 2-1 3-1 =511×40=20440 また 6912 の正の約数のうち12で割り切れる数は 23(xy は整数, 2≦x≦8, 1≦y≦3) で表される数であり, 総和は (2' + 2 + 2' + 2° + 2°+2' + 2°) (3+3+3) 22(27-1) 3 (33-1) X =508×39=19812 2-1 3-1 よって、正の約数のうち12で割り切れないものの総和は

数学 (90分) 解答上の注意 は、結果を導く過程を重視するので、必要な計算論 に解答せよ。 次の間に答えよ。 (1)自然数 m,n について 2"3" の正の約数の個数を求めよ。 (2) 6912 の正の約数のうち, 12 で割り切れないものの総和を求めよ。 2 次の条件によって定められる数列{a}について考える。 a₁ = 3. Ant 1 Av 3an 3n+1 n(n + 1) (n=1,2,3,......) an (1) b = とおくとき, bm+1 を b とnの式で表せ。 3n (2) 数列{a} の一般項を求めよ。 αを0でない実数とする。 C を y=-x+r2 で表される曲線 で表される直線とし、Cとは共有点をちょうど2つもつとする。 (1)a の値を求めよ。 (2)との共有点の座標をすべて求めよ。 (3)Cとで囲まれた

20440-19812=628 ( 別解 (2) (6912の正の約数を2'-3' と表したあとの部分) 6912の正の約数2F・3" のうち, 12で割り切れないものは (i) x=0.1のもの (ii) x=2,3,... 8 かつy=0のもの である。 よって, 求める総和は (1 + 2) (1 + 3 +32 +3%) + (2' + 2° +... + 2")・1 =3·· 3'-1_2227-1) 3-1 + 2-1 =120+508=628 解説 《整数,正の約数の個数, 総和》 (1) 2"3" の正の約数は20個~m 個,300個~ 個掛け きる数である。 (2)正の約数全体の総和から,正の約数のうち12で割り切れ 和を引く。 また正の約数のうち12で割り切れない数は2・3 数,0≦x≦1,0≦x≦3または0≦x≦8, y = 0) で表される数 〔別解〕のように直接総和を計算することも可能である。 2 ✓ 発想 / 隣接2項間の漸化式,一般項の問題。 (1) bm= an とおくとあるので、漸化式の両辺を3 3" (2)(1)より{6} の階差数列の一般項がわかるの 1-1 ...のときb.=61+2(21-ba) により一般項 4-1 =3b" へ代入する。