142. <3次関数のグラフの対称性〉 a,b,cを定数とする。 3 次関数 f(x)=x+ax²+bx+c がx=- 5 極値をとり, 極大値と極小値の和が- =1/2x=1/12 とで 2 であるとき,a=,b=,c="□ である。 次に、この関数 y=f(x) のグラフをx軸方向に, y 軸方向にだけ平行移 動すると,そのグラフは原点Oに関して対称になる。 1143. <図形と最大値・最小値〉 [22 立命館大・文系]

142 3 次関数のグラフの対称性〉 (ア)(イ) 関数f(x) がx=αで極値をとる f'(α)=0 g(x)は奇関数 (エ), (オ)曲線y=g(x) が原点Oに関して対称であるとき, 常にg(-x)=-g(x)が成り立つ f(x)=x+ax²+bx+c から f'(x)=3x2+2ax+b 23. 1/2で値をとるから(22)=(1/2) 5 x=- - 別解 x= 2次方程式 3x²+2ax+b= 0 の2つ この解であるから、と の関係により -5+17=-24 75 よって 12-5a+b=0,242+a+b=0 4 15 これを解いて a=3,b=- このとき、f(x)=x26x13x-1/2)(x+1/2/3) 4 15 であるから, f(x)の増減表は次のようになり、条件を満たす。 これを解いて x 5 2 ・・・・・ 2 f'(x) + 0 0 + f(x) > 極大 極小 極大値と極小値の和が1であるから であるから 1/12) +1(1/2)=1/ ゆえに 15 1 +c= (-)- a=3,b=- b=-15 ( =0. は極値をとるための必要条 件なので、増減表で確かに 極値をとることを確認して いる。 <図 S, 143 右 (1) AP よつ ゆえ よっ X よって c=-3 したがって a=73,b=1-15,c=2-3 y=f(x)のグラフをx軸方向にp, y 軸方向に gだけ平行移動して得 られる曲線の方程式は 15 曲線 y=f(x) をx軸方向 py軸方向にだけ平 行移動して得られる曲線の 方程式は y-q=(x− p)³+3(x− p)²-(x-p)-3 すなわち y= x²+(-3p+3)x²+(3p²-6p-15)x-p²+3p² + 15p- 15p+q−3 ..① 曲線 ①が原点Oに関して対称であるとき, 関数 ① は奇関数であるか ら 15 -3p+3=0,-p3+3p²+p+q-3=0 p=1, q = * -11 y-q= f(x-p) xxは奇関数 x 2 定数は偶関数