基礎問 136 確率と漸化式 袋の中に 1 2 3 4 5 の数字のかかれたカードが1枚ずつ入っ ている.この袋の中から, 1枚カードを取り出し, それにかかれ た数字を記録し, もとにもどすという操作をくり返す。 1回目か らn回目までに記録された数字の総和をSとし,Snが偶数であ P2 る確率をn とおく. このとき, 次の問いに答えよ. V(1) 1,2を求めよ. (2) n+1をnで表せ V(3) n をnで表せ. +20 =+= 精講 (1) 確率の問題ではこのような設問がよく見受けられますが、これ は単に点数をあげるための設問ではありません.これを通して問 題のイメージをつかみ, 一般的な状態((2)) の考える方針をつかんでほ しいという意味があります. PnPhtls の (2)確率の問題で漸化式を作るとき,まず, 確率記号の右下の文字 (添字)に着 目します.ここでは,n+1の関係式を作るので, n回終了時の状況を スタートにして,あと1回の操作でどのようなことが起これば、目的の事態 が起こるか考えます。このとき,図で考えると式が立てやすくなります。 3) 漸化式の処理ができれば, 何の問題もありません。 解 答

(2) Pn: n 回終了時 (n+1) 回終了時 総和が偶数 2,4 1-pn: 総和が奇数 1,3, 5 総和が偶数+1 次の2つの場合が考えられる。 ① Snが偶数のとき,(n+1) 回目も偶数 ② Snが奇数のとき, (n+1) 回目も奇数 ①,②は排反だから,Dr+1=Pnx2/3+ (1-pm)x12/3 :p+1= Pn+ pn 5 +( 5 (3) Dori-1/23put/1/23より、po-1/2=1/2(-1/2) 5 ()() 5 : pn 2 2 pn= よって、12/3+/12/2(-1/2)1 1n 5 n-1 Pn 5 ポイント 124 213 10 1/161=/x(-/1/1) 確率で漸化式を作るとき ① n回終了時に起こりうるすべての場合を考えて ② 次に何が起これば要求された状況になるか と考える