Date (40 11/39) 31 12 MENTI) &+4732h+1) anti = han inch+1th-1 bm=hanとおくと、ba=bn 4 24 1-1-2 12 h = 1. a₁ = | 613. In = ha-1 = "\\==| 2^-1 よってMn=1 an = m = 2 両面ncnt1)で割ると an=lnとすると、Intl Antant n b = 2 = 2 + (n-1)- # antl nt1 (n-1) nenti) = 2+ mati) → an + ん n(htt) aw=2ntitl

408 重要 例題 40 f(n)an=bn とおく漸化式 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 0000 (2)a=2,nan+1=(n+1)an+1 (1) a₁=1, an+1 an 72 n+1 CHART & THINKING n 基本21.29 an+1, an の係数がの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1),f(n)となる ように式変形をする。 n+1' 1 (1) 与えられた漸化式は, αの係数が (n+1)an+1= nan n(n+1) を掛けることで an+1 an n+1 → an の係数がn, an+1 の係数が (n+1) となる。 1 an+1の係数がとなっている。 両辺に (2)(1) と同じように, f(n+1)an+1=f(n)an+(nの式) の形にするには,両辺をどのよう な式で割るとよいかを考えてみよう。 「答 (1) 両辺に n(n+1) を掛けると (n+1)an+1=nan D bn=nan とおくと bn+1=bn on bn+1=(n+1)+1 また, b1=1.α=1 から 6n=6n-1=......=b1=1 したがって6n=1 よって bn _ 1 an n n an+1 an 1 (2) 両辺をn(n+1)で割ると + ←n(n+1)=0 n+1 n n(n+1) an an+1 bn= とおくと bn+1=bn+ bn+1= = n n(n+1) n+1 1 1 ゆえに bn+1-bn= = また b=q=2 1 1 1 = n n+1 n(n+1) nntl よって, n≧2のとき bn=b₁+(1/2 (k+1)=2+(1-1)=3-1 b=2 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 ゆえに bn=3- (n≧1) よって an=nbn=3n-1 n 数列{bm+1-bn} は, 列 { bn} の階差数列。 PRACTICE 40° 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ただし, (2) では bn=- an n(n+1) を利用して求めよ。 442 (2)類 弘前 (1) α=2,3nan+1=(n+1)an (2) α1=2, an+1=- n+2, an+1 n