1942物体の単振動 次の文中の k Bm A IM を埋めよ。 図に示すように, ばね定数んの軽いばねを水平でなめ らかな床の上に置き, その左端を壁に固定した。その右 端には,質量 Mの物体Aを取りつけ, その上に質量mの小さな物体Bをのせた。物体 Aの上面はあらい水平面であるとする。 物体Aを引っ張ってばねを伸ばし,静かにはな すと,物体Aと物体Bは一体となって運動を始めた。 物体の加速度の向きは,図のばね にそった方向の右向きを正とする。 重力加速度の大きさをg とする。 ばねの自然の長さからの伸び,すなわち両物体の変位がx (x>0) のときの両物体の 加速度をαとする。 このとき, 物体Aと物体Bが及ぼしあう摩擦力の大きさをfとする と,物体Bの運動方程式は ma=ア 物体Aの運動方程式は ・① Ma=イ × x + ウ と書き表され, ①式と②式を加えると (M+m)a= エ ② ..... ③ が得られる。 ③式は,x<0 の場合も同様に成立する。 ③式より ばねをd (d> 0) だけ 引き伸ばして物体Aを静かにはなした場合の運動は、振幅がdで角振動数がオ の 単振動であることがわかる。 したがって, 両物体の速さの最大値はdxカ,加速度 の大きさの最大値はキであり, ①式を考慮すると, 物体Bが物体Aの上ですべらず に運動する, すなわち, 物体Aと物体Bが一体となって運動するためには, 物体Aと物 体Bの間の静止摩擦係数がク 以上でなければならない。 [16 関西大 改] → 180, 181

ここがイント 194 上下に重ねた2つの物体が一体となって運動するには、 2つの物体間の静止摩擦力が最大摩擦力以下 であればよい。 この静止摩擦力は2つの物体の加速度によって変化し、 加速度の大きさが最大のとき に最大となる。 S 解答 (ア)(イ) (ウ) 変位x(x>0) のとき, Aには負の向き Aについて ⇒a にばねの弾性力がはたらくので、負の向きにによる弾性力 動こうとする。したがって,BからAにはた よる S 最大の f らく静止摩擦力はこれを妨げる正の向きとな 1 ( る。また,作用反作用の法則より、Bには大きい代 ━正 Bについて さの同じ静止摩擦力が負の向きにはたらく。 よって, 運動方程式は →a 注 x < 0 の場合 も③式が同様に成立するこ を示す。 Jom A: Ma=-kx+f B:ma=-fx10 10 kg ゆえに (ア)-f (イ)･･･-k (ウ)...f (エ)AとBの運動方程式の両辺を足しあわせて (M+m)a=-kx k LA (オ)(エ)より a=-- -x となる。これを単振動の加速度の式 カー万有引 M+m 「a=-ω'x」と比較すると R k M+m 力加速度 よってω= k M+m (カ)単振動の速さの最大値を Umax とすると「Umax=Aw」より max=dx. k M+m 万有引力定 Home (キ)単振動の加速度の大きさの最大値を αmax とすると 「amax=Aw²」より amax=d- k M+m Jei (ク)AB間の静止摩擦力が最大摩擦力以下であればよいので 2 f≦μmg よってμmamax mg mg (M+m) PRS. 正 + x < 0 の場合には,Aに たらくばねの弾性力は正の きであり,Aは正の向きに こうとする。 したがって, からAにはたらく静止摩擦 はこれを妨げる負の向きと る (x>0 の場合と逆向き)。 作用反作用の法則より, B は同じ大きさの静止摩擦力: 正の向きにはたらくので, 動方程式は A:Ma=-kx-f B:ma=f ゆえに, 2式を足しあわせて (M+m)a=-kx となり,x>0の場合に導い ③式と一致している 2 AB間の静止摩擦力が最 大となるのは、問題文の①式 より, 加速度の大きさが最大 のときである