4
8/6×
基本 例題 36
図形と漸化式 (2)
(
右の図において, ∠XOY = 30°, OA1=2,
OB1=√3 とする。 ∠XOYの2辺 OX,
・・・および点
OY上にそれぞれ点 A2, A3,
B3
B2
00000
B₁
Y
B2, B3,
を 「B1A2, B2A3, B3A4,
30°
0
はすべて OXに垂直であり A2B2, A3B3,
A4 A3 A
はすべてOY に垂直」 であるようにとる。
△ABAn+1 の面積を an とするとき, 数列{an} の, 初項から第n項までの和
を求めよ。
CHART & SOLUTION
前ページの例題と同様に, an と αn+1 の関係について考える。
基本 29 35
△An+1Bn+1An+20△ABA+1, 「相似な図形の面積比は,相似比の2乗に等しい」を利用
する。
①
△An+1BnBn+1, △BnAn An+1 はともに, 3つの内角が30℃
よって
60° 90° であるから
√3
2
An+1Bn+1= -An+1Bn, An+1Bn=
√3
2
-AnBn
()
130
3
An+1Bn+1 = (2)
=(√3) A„B = A„Br
AnBn= -AnBn
4
△An+1Bn+1An+2∽△AnBnAn+1 であるから
32
2AA
3
9
Baty
an+1=
an=
-an
16
30°
1=
=
また,.= 1/2AA AB-12.12 より数列
1√3/3
0-
2
8
A+2 A+ As
An+1B+1=AB から,
√3
4
{an} は初項
公比
9
8
の等比数列であるから, 求める和は
16
相似比は4:1
√3
8
{1-(1)"}
9
16
23
9
1-
2/11 (1)
7
9
16
ゆえに、面積比は
12
(4):1
16
PRACTICE 36Ⓡ
a) A
AC=2, BC=3, ∠C=90° の直角三角形ABCの内部に,
図のように正方形 D1, Dz, D3,
を次々に作る。 正方
D₁
D2
わざわざ斜めの辺使って相似比求めてるのはなぜですか？