102 6/24 基本 例題 58 対数微分 次の関数を微分せよ。 x+3 (2) y=xx+1(x>0) (1) y=1/(x+1) CHART & SOLUTION 対数微分法 両辺の対数をとって微分する 山形大) 基本 57 両辺の絶対値の自然対数をとると 積和商→差が乗が倍となるから微分 の計算がスムーズにできる。 その際, yはxの関数であるから,合成関数の微分法 (基本例 50 参照)から (logy)=log/y=log/y.dy_1 dx y=y dx y J' dy であることに注意する。 このような微分法を対数微分法という。 (1) 真数は正でなければならないから, 絶対値の自然対数をとる。 (2)(x+1)=(x+1)x* は誤り! y=f(x)(x) (f(x)>0) の形なので、両辺の自然対数を とると logy=g(x) logf(x) 解答 この式の両辺をxで微分する。 (1)→する (1)両辺の絶対値の自然対数をとると両の奴を出て x+3 log (x+1)3 =log| ||x+3|| \\x+13 次の関数を Q (1) y=e5x 9(4) y=eco CHART & 指数関数の微 上の公式を用い (1)(2)合成関 解答 (1) y'=e5x. =5e5x (2)y'=2x( =-2- (3)y'=(x)' =3+. log|y|== (log|x+3|-310g|x+1|) =3(x 両辺をxで微分すると (4)y'=(ex x = 3(x+3x+1)=5 (x+3)(x+1) 1 x+1-3(x+3) 両辺にyを掛ける前に =exco y 右辺を整理しておくと =ex(c 2(x+4) 5(x+1)(x+3) x+3 よって y= (x+1) 2(x+4) 5(x+1)(x+3) 2(x+4) 5(x+1)(x+1)(x+3)4 ex>0であるから y>0 よい。 (5) y'= (e3 y=2(x+3) +y'= −2 (x+3) 2. 25 (x+1) x+4 X (x+1)(x-l x+4 (x+1) f(x) 3e3 3x POINTER よって, 両辺の自然対数をとると logy=(x+1)logx 両辺をxで微分すると y y = 1.logx+(x+1). 1 = 10gx+1+ 1 +(fg)'=f'g+f えに y= (logx+ 1 x +1mx+1 XC XC CTICE 582 個数を微 PRACTICE 次の画