286 演習問題の解答 よって, n≦11のとき Dn+1 注 ここで, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) Pn >1, (1) n≧12 のとき, Dn+1 ・<1 pn 118 (1) PからQまで行く最短経路は 7! 7C3= 4!3! -=35 (通り) である. PからRまで行く最短経路は 5C2= 5! =10 (通り) あり 3!2! RからQ までの最短経路は2通りだから, 10×2 4 10×21 35 7 . ps<p<< P11<12> 13>... よって, pn を最大にする nは,12 120 3数の和が3の倍数になる組は (1, 2, 3), (2, 3, 4) の2通りなので和が3の倍数になるとり 出し方の総数は (2) それぞれの交差点における確率を下 図により表現する。 1 1 1 3!×2=12 (通り). このうち, 1枚目のカードが1であるの は (1,2,3) (1,3, 2)の2通り。 よって求める確率は 2 2 2 R 1 2 1 2 P 11 1 1 1 22 22 2 12 1 2 2 1 12 6 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 5 求める確率は 119 x10= (1)×10-17 16 (1) 5 は5個の無印の白玉と, 個の赤印の白玉の入った袋の中から5 個とりだし, 赤印が2個含まれている 確率であるから pn= 5C2 n-5C3 nC5 200(n-5)(n-6)(n-7) n(n-1) (n-2)(n-3) (n-4) 200(n-4)(n-5)(n-6) (2) Dn+1_(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3) -200(n-5) (n-6)(n-7) Pn 2 (n-4)2 n(n-1) (n-2)(n-3) (n-4) (n+1)(n-7) =1+ 23-2n (n+1)(n-7) Dn+1 23-2n -1= Dn (n+1)(n-7) 121 (1) 箱Cに赤玉が含まれない, つまり箱 Cが白玉のみであるという余事象を考 えて, 求める確率は, 1- 2x427 35 -57 (2) 箱Cの中の玉の組合せは, (i) 赤・赤 (ii) 赤・白 のみであり(i) のとき,箱Cから赤玉を とりだす確率は1だから 3 9 x1= (i)のとき,箱Cから赤玉をとりだす 率は1/21 だから 3 1 4 2 5 7 + 2 35 (i), (ii)より, 求める確率は, 9 9 18 35 + 35 354 (3) P(R) 箱Cから赤玉をとりだす : 率, P(A): 箱Aの赤玉をえらぶ確 とすると,

(1)pn=5Ci'nCi_ n+5C2 pn+1= 2.5.n (n+5)(n+4) 10n (n+5)(n+4) 10(n+1) (n+6)(n+5) 答 (n+5)(n+4) =(4+5)(h+4) 4.C,= n! r!(n-r)! 基礎問 119 確率の最大値 白玉5個, 赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から、 2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率 を で表すことにする. このとき,次の問いに答えよ. ただし, n≧1 とする. (1) pn を求めよ. × (2) を最大にする n を求めよ. × (2) Ach+6+(4-h) pn × 10n = (16) (n+1)(n+4) n(n+6) n+1の形で1と大 -=1+ 4-n (a-h) n(n+6) 小を比較 =1+ h(n+6). pn+1-1= 4-n pn n(n+6) よって, <4のとき pn Dn+1>1 <n(n+6)>0 だから 符号を調べるには分 子を調べればよい n=4 のとき,Ds=pa 精講 条件に文字定数nが入っていると, 確率はnの値によって変化する ので,最大値が存在する可能性があります. 確率の最大値の求め方 は一般に,関数の最大値の求め方とは違う考え方をします。それは、 変数が自然数の値をとることと確率≧0であることが理由です。この考え方は、 n≧5のとき,n+11 Pn p₁<p2<p3<p4= p5> P6> Dr>...... パターンとして頭に入れておかなければなりません. よって, pn を最大にするnは 4,5 その考え方とは次のようなものです. いま,すべての自然数に対してp>0 のとき, ある自然数Nで, ポイント 確率の最大値は,わって1との大小比較 この式をかく方がわ かりやすい n≦N-1 のとき,n+11 pn Dn+1 n≧N のとき, <1 pn この考え方は確率以外でも 考 が成りたてば, nで表されている確率は, たとえば,f(n)=n ① 定義域が自然数 ② 値域 > 0 をみたす関数であれば利用できます。 n(n+3) 2n Þ₁<þ2<<þN> N+1>...... などです. この関数は n=2 で最大になりま すので、各自やってみましょう. が成りたちます. だから n=Nで最大とわかります. すなわち, pn+1 pn と1の大小を比較すればよいのです.ここで, 演習問題 119 pn Pn+1 >1 Dn+1-pn>0 ですから, pn+1-0の大小を比較してもよいのですが, 確率の式という のは、ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです. (1) pn nで表せ. ある袋の中に, 個の白玉が入っていて、そのうち5個に赤い印 がついている。その袋から5個の玉を同時にとりだしたとき,2 個の玉に赤い印がついている確率を とおく.ただし,8 する.このとき,次の問いに答えよ. (2) pm を最大にする n を求めよ.