問題 88 直角三角形ABCにおいて, AB = 15, BC = 20, CA = 25 とし,両端を除く辺AB, BC, CA 上にそれぞれ点P,Q,R を AP:BQ:CR=1:2:3 となるようにとる。 △PQR の面積が35 となるときのAPの長さを求めよ。 AP = x とおくと,右の図より PB = 15-x, BQ=2x, QC=20-2x, CR = 3x, RA = 25-3x C + 3x 20-2x R Q また, 点P Q, R はそれぞれ辺AB, BC, 25-3x 2x CA上 (両端は除く) より 0<x<15 かつ 0 <2x<20 かつ Axp 15-x B この3つの条件に注 0 <3x < 25 すなわち 0<x<15 かつ 0<x<10 かつ 0<x< 25 よって 0<x< ① 3 底辺いのさ 253

また, 25-3x CA上 (両端は除く)より 2x 0<x< 15 かつ 0 <2x < 20 かつ Axp 15-x B この3つの条件に注意 0 <3x < 25 すなわち よって 0<x<15 かつ 0<x<10 かつ 0<x< 0<x< 25 3 ... ① 25 253 £=8 (25-3x) ・20 25 △APR において, AP を底辺としたときの高さんは h: BC = AR: AC= (25-3x):25 より h₁ △CRQ において, CQを底辺としたときの高さんは 点Rから辺ABに下ろし た垂線を RD とするとき、 RD は ARP の高さで あり,RD // CB である。 3x15 h:AB=CR:CA = 3x:25 より h2 250g( △PQR の面積をSとおくと S = (25-3x) ・20 ・15・20- x 2 2 25 0=1+30+ 11/12 (15-x)2x-11/12 (20-2x)・ (20-2x). 3x 15 25 ■S=△ABC-△APR - ABQP-ACRQ = 4x2 -43x+150 S=35 より 4x²-43x+115 = 0 (4x-23)(x-5) = 0 となり 23 x= 5 4' これらはともに①を満たす。 したがって, AP の長さは 23 または5 4 x 11X-23 さ -23 20 -5 <-20 -43