quickly ……速さに焦点がある（スピード）。
「すごい勢いで売り切れる」

soon…… 時間的な早さ（間もなく）に焦点がある 。
「まもなく売り切れる」

The tickets will sell out quickly.
売り切れる「スピード」が速い（人気があって一気に売れるイメージ）。

The tickets will sell out soon.
時間的に「もうすぐ」売り切れる（まだ売ってるけど、あと少しで終わりそうなイメージ）。

どちらも使って正しいと思いますが、
「quickly」：どれだけ速く売れるか（スピード感）
「soon」：いつごろ売り切れるか（タイミング）
の違いが出るかと思います🙇