基本 例題 78 重心・外心垂心の関係 |正三角形ではない鋭角三角形ABC の重心 G, 外心 0, 垂心Hは一直線上に あって, 重心は外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から 1:2に内分することを |証明せよ。 なお, 基本例題 77の結果を利用してもよい。 p.452, 453 基本事項 1, 3, 4 指針 証明することは,次の [1], [2] である。 [1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。 これを示すには, 直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。それには,OH と中 線AM の交点をG' として G′とGが一致することを示す。 [2] 重心Gが線分 OHを1:2に内分する,つまりOG: GH=1:2をいう。 AH// OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 437 3 右の図において 直線 OH と A 解答 ABCの中線AMとの交点をG′ とする。 (G) AH⊥BC, OM⊥BC より, AH// OM であるから GH 1 外心の性質から。 B M C AG' : G'M=AH: OM =20M : OM 基本例題 77 の結果から。 =2:1 検討 AMは中線であるから, G' は △ABC の重心G と一致 する。 よって, 外心 0, 垂心H, 重心Gは一直線上にあり HG: OG=AG:GM=2:1 すなわち OG:GH=1:2 外心、重心、垂心が通る直線 (この例題の直線 OH) を オイラー線という。ただし, 正三角形ではオイラー線は定 義できない。 下の検討③を 参照。

458 基本 例題 77 三角形の外心 垂心と証明 00000 | 鋭角三角形ABCの外心を 0, 垂心をHとし, 0 から辺BC に下ろした垂線を OM とする。 また, △ABC の外接円の周上に点D をとり, 線分 CD が円の直径 になるようにする。 このとき,次のことを証明せよ。 (1) DB=20M (2) 四角形 ADBH は平行四辺形である 正 あ 解答 (3)AH=2OM P.452 453 基本事項 4 指針 外心・垂心が出てきたときの, 一般的な考え方のポイントは 外心外接円をかいて, 等しい線分に注目する。 または円に関する定理や性 ← 垂 質(*)を利用してもよい。 垂線を下ろして、直角を利用。 (*) この例題では,次のことを利用する。 ・円周角の定理(特に, 半円の弧に対する円周角は90° である。) (1)M は辺BC の中点, 0 は線分 OM は辺BC の垂直二等 分線。 中点連結定理 中点2つで平行と半分 # ① 0 B C M ∠DBC, ∠DACは半円 の弧に対する円周角。 DCの中点であるから,中点連 定理により DB=20M (2) 線分 CD は外接円の直径で あるから ∠DBC=90°, ∠DAC=90° DB⊥BC, AH⊥BCより DB // AH <Hは △ABC の垂心。 また,DALAC, BH⊥AC より DA// BH よって, 四角形 ADBH は平行四辺形である。 2組の対辺がそれぞれ平 (3)(2) から AH=DB *****.. ② 行。 ①,②から AH=2OM 注意 この問題は, △ABC が鈍角三角形のときも成り立つ。 ただし,∠A=90° または ∠B=90°の直角三角形のときは (2) の四角形ができない。