8 定積分と面積 定積分は,図形の面積と関係がある。 ここでは, 定積分を使っていろいろな 図形の面積を求めてみよう。 A 定積分の図形的な意味 5 関数 f(x) = 2x について考えよう。 Ly=2x 右の図において, 関数 y = 2x のグラ フとx軸,およびx軸に垂直な2直線で 囲まれた斜線部分の面積は 2x 2 (2+2x)(x-1)=x-1 0 x x 10であり,これはxの関数である。 ここで,この面積をS(x) とおくと S(x)=x2-1, S'(x)=2x f(x) = 2x であるから, S'(x)=f(x) が成り立つ。 すなわち, 面積 を表す関数 S(x) が関数f(x)の原始関数の1つになっている。 15 関数 y=2x のグラフと面積について調べたことを,一般の関数 y=f(x) について考えてみよう。 関数 f(x) は, 区間 a≦x≦bで f(x)≧0 であるとする。 y=f(x), 右の図において,y=f(x) のグラフ 20 とx軸の間の部分のうち, x 座標がα か らxまでの斜線部分の面積は,xの関数 である。この関数をS (x) とする。 S(x) Oa x b x

>0のとき、右の図の斜線部分のy=f(x)】 面積はS(x+h)-S(x) である。 また, xt≦xthで,Pは横の長さん, 縦のとき、 の長さ f(t) の長方形である。このP P の面積と斜線部分の面積が等しくなる ようにをとると 0a S(x+h)-S(x)=hf(t) S(x+h)-S(x) よって =f(t) f(t) h <0 のときにも、同じ式が成り立つ。 →0 のとき, t→x であるから, f(t) → f(x) となり lim h→0 S(x+h)-S(x)=f(x) すなわち S'(x)=f(x) h したがって、面積S(x) は関数f(x) の原始関数の1つである。 ここで,F(x) を f(x) の原始関数の1つとすると S(x)=F(x)+C (Cは定数) 15 S(x) の意味から,S(α) = 0 である から,① で x=a とすると 0=F(a)+Cli すなわち C=-F(a) これを①に代入すると 20 S(x)=F(x)-F(a) よって,y=f(x)のグラフとx軸 ① y S(x) xtxbx x+h of y=f(x), S O a x b および2直線 x=q,x=6で囲まれた図形の面積をSとすると S=S(b)=F(b)-F(a)=Sof(x)dx