OB2=OH+BH2 よって, R2=(8-R)2+62 ..0=-16R +100 したがって, R= 25 4 (別解)三平 8 R ACMD だから, 線分ACが高さで ある. よって,V= 13 ・・△BMD・AC BA 31-√2-2-2 2 B 6 H C 方の定理より, 注 AB=10 Rは △ABC の外接円の半径だから 立方体の体積から, 正四面体と立方 体の間にある三角錐4個分をひいても よい. △ABC=1/2ABACsin∠BAC 65 nie A 0 (8) (85 3 よって, 3 D 1/2BC-AH-12AB-AC200 -BC・AH= 4 AC・ 2R DC AB-AC 100 3 . R= 25 3 2AH 16 4 B y C 64 (1) 問題文の図より, 立方体の1辺の長 さは√2 (2) 図より, MB=MD=√3, BN=ND=1 △BMN において, 三平方の定理より MN=√MB2-BN2=√2 A M 2 B MIL C 2 D MNは立方体の1辺の長さと一致 する. (3) 四面体 ABCD にお A (1) 直方体の3辺の長さをそれぞれx, y, zとおく. 三平方の定理より [x2+y2=9 x2+z2=16 y2+22=9 ②③ より 2-y2=7 ......④ ① +④ より 2c2=16 x=2√2 よって, y=1, z=2√2 (2) 求める体積は, 立方体の体積 xyz から4つの三角錐の体積の合計 4/1/31/12/1/3をひいたもので ある. xyz= -xyz -2xyz=1xyz よって, Ole B N D xyz- 3 -1.2√2.1.2√2= 8 3 B 66 いて,底面 B M N ABMD D と考えると, C √13 2 0 A AC⊥MB, 3 1200

CA2=100 AB2+BC2=CA2 だから, △ABC は CA を斜辺とする直角三角形. (1)より, Hは△ABC の外心だから, Hは斜辺 CA の中点に一致する. よって, OH=√92-52=2√14 また, △ABC= C=1/2・6・8=24 ・・6・824 四面体の体積 6 9. A 6 B 'm H 6 8 0 9/MA =1/23×底面積×h M 5 H A . V=A ・△ABC・OH=16/14 ポイント 0 四面体の1つの頂点からでている3つの辺の長さが等 しいとき,その頂点から対面に下ろした垂線の足は 対面の三角形の外心になっている!! 演習問題 64 1辺の長さが2の正四面体は,図のよう に立方体に含まれる. (1)この立方体の1辺の長さを求めよ. X (2) ACの中点をM, BD の中点をNと するとき,MN の長さを求めよ. × (3)四面体 ABCD の体積を求めよ. × -MA 第4章 B A