リード D 第21章 静電気力と電場・電位 193 372 帯電した球体がつくる電場■ 図1のような,正電荷 Q [C]に帯電した半径a [m] の導体球Aがつくる電場を考える。 クーロンの法則の比例定数をk [N·m²/C2] とする。 (1) 導体球の中心Oから距離[m] (0<r<α) 離れた点における 電場の強さを求めよ。 r (2) 導体球の中心0から距離 [m] (a<r) 離れた点における電場 の強さを求めよ。 次に、 図2のように単位体積当たりの電気量が一定の値 [C/m² a 図 1 + + + + 導体球A A+++at+ ++ + + + ++・ ++ +O++ + + + ++++ 球体B (p>0) である半径α [m] の球体Bがつくる電場を考える。図2 (3) 球体Bの中心0から距離 [m] (r≦a) 離れた点Pにおける電場の強さを求めよ。 た だし,点Pでの電場は, 0 を中心とした半径 [m] の球面の内部にある電荷がつく る電場に等しいものとする。 [17 関西学院大 改] 363 物

372 ここがポイント 電荷分布が球対称になっているときは、電場を求める点を通る同心球面を考えガウスの法則を用いる。 電場の強さは、単位面積当たりを垂直に貫く電気力線の本数である。 解答 (1) 静電状態では導体内部に電場がないから電場の強さは ON/Co (2) Oを中心とする半径r 〔m〕 (a<r)の球面S を考える(図a)。 導体球A上の正電荷はAの 表面に一様に分布しているので, 対称性から S上の電場は半径方向外向きで,その強さ E[N/C] はS上で一定である。 ガウスの法則 より, Sから出る電気力線の総数 N [本] は + 4 E + + + 4 + t 14 4 0 a + N=4wkQ [本] ① また, S上の単位面積を貫く電気力線の本数が 電場の強さE [本/m²] であるから, + ☑ a 1 Anr2E=4mkQ N=4лr² E である。 これを①式に代入して kQ よってE=- [N/C] .2 (3) Oを中心とする半径r [m] (r≦α) の球面S' を 考える(図b)。 球体Bには単位体積当たりの電 気量p [C/m²] で正電荷が一様に分布しているの で, (2) と同様に対称性からS' 上の電場は半径方 向外向きで,その強さE' [N/C] はS'上で一定 である。 S' 内部の電気量を Q' [C], S' から出る 電気力線の総数を N' [本] とするとガウスの法 則より N'=4wkQ' [本] L01×1.8 S - 4+ +- ・キギャ ++ tato + 4++ ギギ 図 b A キキ 1 半径rの球の表面積は 42 [m²] である。 (2)

4 Q'= 2 uropa N' AreE' なので,これを②式に代入して 4πr²E' = 4πk• ½лr³0 E= よってE'13tor[N/C] 4 第21章 静電気力と電場・電位 189 2 半径rの球の体積は 4 rr[m]である。