(3)自然数の列{az}を言 41=5,an+1=94+ a +1 (n = 1, 2, 3,･･･) 4 によって定める.この列の各項 αを4で割ったときの余りを求めよ.

ak+1=3a+7=3(5m+4)3+7 =3(125m² 300m² +240m+64) +7 =5 (75m3+180m² + 144m+39) +4 75m" + 180m² + 144m +39 は整数であるから、5で割ったときの 余りは4である。 よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。 同と同じ色の (i), ()より,すべての自然数nについて ① は成り立つ。 別解 すべての自然数nについて (証明終) α4 (mod5) ・・・・・・(ア) であることを数学的帰納法で示す。 (i) n=1のとき 4であるから、は成り立つ。 (E (i)n=(kは自然数) のとき, (ア)が成り立つと仮定すると a=4 (mod5) ak+1=3ak +7=3.4°+2=3・64 +2=3・4+2=144 (mod5) よって, n=k+1のときも (ア)は成り立つ。 (i), (ii)より, すべての自然数nについて(ア)は成り立つ。 (i), (ii)より, すべての自然数について②は成り立つ。 したがって, C am を4で割ったときの余りは nが奇数のとき1nが偶数のとき3 《漸化式、割り算の余り》 解説 帰納的に定義された数列と割り算の余りに関する問題である。 (1) 基本的な隣接2項間の漸化式である。 (2) 数学的帰納法を用いる。〔別解〕のように合同式を用いると,記述量 を減らすことができる。 (3)漸化式にn=1,2を代入することにより,a, を4で割ったときの余 りを推測できる。それを数学的帰納法で証明する。 〔解答] のように合同 式を用いると,記述しやすい。 D 3 解答 f(x) =√x +1,g(x) = e とおく。 C:y=f(x), C2y=g(x) である。 (1) 曲線 C と C2 の交点のx座標が3であるから (3)=g(3) すなわち 23 log2 (3) したがって, am を5で割ったときの余りはつねに4となる。 a₁ =5=1 (mod 4) よって a=1310g2 a2=9a2+α+1=9・12+1+1=113 (2)(1)より (mod4) a3=9a2+a2+1=9・32+3+1=85=1 (mod4) これより, mを自然数として a2m-11 (mod 4), a2m = 3 (mod 4) ......2 であると推測できるので、 ②が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 (i) =1のとき 1,423より ②は成り立つ。 (i) = (hは自然数のとき, ②が成り立つと仮定すると a2-1=1 (mod 4), a2 =3 (mod 4) これより Q2(+1) -1 = @2x+1=9422+α2+1=9・32+3+1=851(mod4) a2(k+1)=9a2k+12+α2k+1+1=9・12+1+1=113 (mod4) よって,m=k+1のときも②は成り立つ。 e=el/log2=(elog2) 1/12 2 であるから, C2 は 21 C₁ 1 C2 y=25 Dの面積は f(x+1-25) dx 0 夜 =1/(x) 20 (x+1) 12/23 (4-1) -3. es f log 2 3 (2-1) log 2 = 143 3 ( 19 AS 0120-02 log2