参考・概略です

a＝1/(3－2√2)＝3＋2√2

√4＜√8＜√9 から、2＜2√2＜3 で、5＜3＋2√2＜6 となり
5＜a＜6　で、整数部分5より、小数部分b＝－2＋2√2

●p＜x＜p＋4b　を満たす３つの整数を、n，(n＋1)，(n＋2)とすると

(1) ３つの整数の和が0である事から
　　　n＋(n＋1)＋(n＋3)＝0　を解き、n＝－1で
　 　　3つの整数が、－1，0，1　である事がわかります

(2) p＜x＜p＋4b　を満たす整数が、－1，0，1であるとき

　㋐最小である「－1」に着目して
　　　p＜－1≦p＋1
　　これを解いて、－2≦p＜－1

　㋑最大である「1」に着目して
　　　p＋4b－1≦1＜p＋4b
　　b＝－2＋2√2より、4b＝－8＋8√2　で
　　　p－9＋8√2≦1＜p－8＋8√2
　　これを解いて、9－8√2≦p＜10－8√2

　㋒9－8√2＜－2＜10－8√2＜－1　より
　　　－2≦p＜10－8√2