参考・概略です

●∠ＡＰＢ＝θとすると、∠ＢＰＣ＝180－θで
　sin∠ＢＰＣ＝sin(180－θ)＝sinθ＝sin∠ＡＰＢ

△ＡＰＢにおいて
　　正弦定理より、ＡＢ/sin∠ＡＰＢ＝2Ｒ₁　で
　　　2/sinθ＝2Ｒ₁　…　①

△ＢＰＣにおいｔｒ
　　正弦定理より、ＢＣ/sin∠ＢＰＣ＝2Ｒ₂　で
　　　3/sinθ＝2Ｒ₂　…　②

①，②より
　　Ｒ₁：Ｒ₂＝2Ｒ₁：2Ｒ₂＝2/sinθ：3/sinθ＝2：3
　よって、
　　Ｒ₁/Ｒ₂＝2/3

補足(実際の値を求めると)
　　Ｒ₁＝(2/3)√3，Ｒ₂＝√3，sinθ＝√3/2