33.X Nを正の整数とする。 2N 以下の正の整数m, nからなる組 (m, n) で, 方程式 x²-nx+m=0 がN以上の実数解をもつようなものは何組あるか。 [東京工大

これを満たす整数 αは a=15 針 33 2次方程式がN以上の実数解をもつ条件> n 条件からとnが満たす不等式を導き, その不等式が表す mn 平面上の領域を考える。 f(x)=x-nx+m とすると,0<n≦2N のとき,y=f(x) のグラフの軸 x=- につい f(N) ≤0 01Nであるから,f(x) =0がN以上の実数解をもつ条件は f(N) 0 であれば, y=f(x) のグラフはx軸と共有点をもつから, 判別式を調べる必要は ない。 f(x)=x2-nx+m とする。 関数 y=f(x) のグラフは下に凸の放物 n 線であり,軸は直線 x= である。 2 m ここで,0<n≦2N であるから ON 0</≤N よって, 方程式 f(x) = 0 がN以上の実 数解をもつための条件は,右の図より y=f(x) 22- n N x ◆nは正の整数であるから n>0 数学重要問題集(理系) 29

f(N) ≤0 すなわち N2-nN+m≦0 この不等式をnについて解くと, N 0 であるから N n≥ m+N NA これを満たす 2N 以下の正の整数 m, n N+2 の組 (m, n) の個数を求める。 N+1 g(m) = 1/2m+Nとする。 N 関数 n =g(m) は1次関数であり,その グラフは右の図のようになる。 0 [1] 2N≧N+2 すなわち N≧2 のとき 条件を満たす整数m, nの組 (m, n) が表す点は, 右の図より, NA 直線 n = N+1 上に N個, 2N 直線 n=k N+2 (ただし, N+2≦k≦2N) N+1 N 上に2N 個だけ存在する。 よって, 全部で N+2N・{2N-(N+1)} =2N2-N (組) im N 2N 0> ((S+ m 01 N 2N [2] N=1のとき NA このとき g(m)=m+1 よって、条件を満たす整数 m, nの組 2 (m, n) は, 右の図より, 1 (m,n) = (1,2)の1組。 ar ここで, 2N2-N において, N=1 とす -10 ると 2.12-1=1 よって、 すべての正の整数 N に対して, 求める組の個数は 22-N (組) m