基礎問 第 1 章式 1 だ円(I) 次の問いに答えよ. (1) だ円 C: (x-5)²+(y+1)2 + 25 16 =1の焦点の座標,長軸の長さ, 短軸の 長さ, 点 (8, 1)における接線の方程式を求めよ. (2) 2つの定点A(1,3), B(1, 1) からの距離の和が4となるような点 P(x, y) の軌跡を求め,それを図示せよ . だ円については,次の知識が必要です. 精講 <定義> 2つの定点 A,Bからの距離の和が一定の点Pの軌跡,すなわち, AP+BP=一定(一定値は長軸の長さ) 〈標準形〉 (横長のだ円) x2 y2 a -+- 62 -=1 (a>6>0) で表される図形はだ円で, 焦点は(±√2-620) ●中心は原点 もし忘れたら,Pをy軸上にとって三平方の定理 を使うと求められます。 an • 長軸の長さ: 2α, 短軸の長さ: 26 √a²-b² • 上の点(x1,y) における接線の方程式は X1X a² +=1 (1) C: (x-5)² (y+1) 2 + 52 解答 42 -=1をx軸の正方向に-5,y軸の正方向に 1だけ平行移動しただ円 C' は C': x² y² + 52 42 =1 C'′ について, 焦点は(±3,0),長軸の長さは10,短軸の長さは8

ゆえに,Cについて, 焦点は (8-1)と(2,-1) 長軸の長さは10, 短軸の長さは8 また,C'上の点(3.1/8)における接線は 3.x 1 16 + =1 25 16 3x+5y=25 これをx軸の正方向に5,y軸の正方向に -1 だけ平行移動したも のが求める接線だから,3(z-5)+5(y+1)=25 II ベク48 ∴. 3x+5y=35 (2)A,Bの中点は (1,2) だから 注 sta 求める軌跡はだ円でそれをx軸の正方向に-1,y軸の正方向に -2 だけ平行移動するとAは A'(0, 1), BはB'(0, -1) に移るので,移動 +- 62 後の円は1+1/2=1<b>a>0)とおける. Y A', B' は焦点だから,6-d=1 ① 2+236 また,長軸の長さは4だから, 26=4 ...... ② 2 ①,②より b2=4, a2=3 よって, 求めるだ円は 2-2√6 (8) (x-1)(y-2)2 11 IC ・+ -=1 3 4 グラフは右図のようになる. 注 だ円の中心 (焦点の中点) を用意して, それが原点になるように平 () 行移動すると標準形になります. ポイント 2