どちらかというと考え方は逆です

ここでは
1/(ab)を(1/a)-(1/b)の形にしたい
わけです

右辺(1/a)-(1/b)を通分すると
(b / ab)-(a / ab) = (b-a)/(ab)であり、
左辺1/(ab)と一致しません

そこで、右辺をb-aで割れば等しくなるので
1/(ab) = (1/(b-a)) ( (1/a)-(1/b) )
です

たとえば
1/(2×3) = (1/(3-2)) ( (1/2)-(1/3) )
つまり1/(2×3)は(1/2)-(1/3)に変形できます

1/(3×5) = (1/(5-3)) ( (1/3)-(1/5) )
つまり1/(3×5)は(1/2) ( (1/3)-(1/5) )に変形できます

要は、分母で掛けている2数の差で割る、
という調整が必要ということです
1/(3×5)なら、(1/3)-(1/5)に分解した上で、
5-3である2で割る（1/2を掛ける）ということです

1/(8×11)なら、(1/3) ( (1/8)-(1/11) )です

1/(2n-1)(2n+1)なら、
(1/2) ( (1/(2n-1))-(1/(2n+1)) )です