ご丁寧に教えていただきありがとうございます。
aをa＋b、bをcに置き換え式を作るところまで理解することができました。
その後なぜ両辺に＋1をするのでしょうか？
そして＋1をしたあとの式から成り立っているかどうか判断できるのでしょうか？

+1をしたのは問題を解く途中に出てきた式の形がそうなっているからです。
2^a+2^b+2^c ≦ 1+2^(a+b)+2^c ←この式
ここで知りたいのはこの式に対する不等式なので、これと同じ式の形にするために+1をしています。
そして不等式では、両辺に同じ数を足しても大小関係は変わらないので、足した後の不等式も成り立ちます。

2^a+2^b+2^c≦1+2^(a+b)+2^c
ここで2^(a+b)+2^cに対して(1)より
2^(a+b)+2^c≦1+2^(a+b+c)
が成り立つので、これを利用すると1+2^(a+b)+2^cに対して
1+2^(a+b)+2^c≦1+1+2^(a+b+c)
が成り立つ
1+1+2^(a+b+c)=2+2^(a+b+c)
なので、以上をすべてまとめると
2^a+2^b+2^c≦1+2^(a+b)+2^c≦1+1+2^(a+b+c)=2+2^(a+b+c)
したがって
2^a+2^b+2^c≦2+2^(a+b+c)

全て理解することができました。
ご丁寧に教えてくださりありがとうございます。