their intimacy →主語
loses →動詞
more and more [of its miraculous character]
→目的語

more and moreはここでは名詞的に使っていて
「ますます多くのもの」
ofは全体の中の部分を表すときに使う割と典型的なやつで「〜のうちの」ってことです。
A of B = BのなかのA

itsはここではtheir intimacyを指しています。
だから直訳すると
「彼らの親密さは、その（親密さの）奇跡的な性質のうち、ますます多くのものを失っていく」
と言っているのですが、
分かるようで分からないというか
そのままだとなんか少し変ですよね。
親密さが、親密さの性質(のますます多く)を　
となってて
主語と目的語が重なり過ぎているからです。

more and more というのは、
より多く、そしてさらにより多く
だから「ますます」とか「どんどん」の意味です。

だから例えば
more and moreをどんどん　として
親密さの奇跡的な性質　を主語として受動態にしたら
「彼らの親密さの奇跡的な性質はどんどん失われていく」
というふうに「親密さ」を２回訳さなくて済みますね。