微積分の問題で分からない点が二つあります。

Question

微積分の問題で分からない点が二つあります。
質問している問題、解説を写真一枚目〜三枚目に貼ってます。
・（2）の問題は三次関数のグラフの接線の本数＝接点の個数になることから（1）で求めたTの式に点Aの各座標を代入して回答を進めているのですが、なぜ点AのX座標、Y座標を求めるのにTの式を使って求められるの
でしょうか？

・（3）で2本の接線を求める時に（＊）を利用して
　傾きを求めていますが、
　なぜ（＊）から2直線の傾きがわかるのですか？

解説お願いします💦

Q&A専 · Accepted Answer

一つ目、まず(1)の答えの式はTが曲線上の任意な点なので、曲線の持つ接線の式を全て表したものになっている。なので、その式が(a,b)を通るという条件を入れてあげると接点Tが計算でき、接戦の式も求められる。(＊)はその途中の式と意識すると良いかもしれない。ただ、ここでは接線が２つだけの条件を求める(tの解が2つになる)問題なので(＊)のようにtの3字式としてみてあげて解く。

二つ目、(2)から(＊)の解はt=0,3a/2になるので、それらをf'(x)=3x^2+1に入れて計算してあげる。

𓆡 · Answer

(2)
(a,b)は曲線C上の点ではないからです。ですが、曲線C上のどっかと別のどっかの点から接線を引いたら(a,b)を通るらしいです。なので、曲線C上の点を自分で設定して(今回の場合は(t,t³-t))それから接線を引いた時に、その接線が(a,b)を通っていれば条件を満たすと言えます。
なので、気持ち的には
「曲線C上の点から接線を引いたら(a,b)を通るとか書いてあるけど、どこの接点から接線引いてんだよ。接点分からないし、接点分かんないから接線も分からないよー。分かんないなら、文字で置いてあげるか。それで、どこか分かんない接点から引いた接線上に(a,b)があれば条件満たすのか。とりあえず、(a,b)を接線の方程式に代入するか。条件だと2つからの接線上に(a,b)はあるらしい。即ち、接点が2つないとダメってことだ。元々tって接点だからこのtが2つだけあればいいってことか。よくよく見たらこれってtの3次方程式になってるわ。つまり、1つの重解と1つの実数解があればいいわけか。3次方程式が重解を持つときは極大値or極小値がx軸と接するときだから(極大値)×(極小値)=0となればいいわけだ！」という感じです。
tが何を表しているか。文字で置いている以上、その文字には意味があります。今回で言えばtは接点という役割が与えられていました。その文字にはどんな役割があるのか念頭に置きながら問題を解いていくとよいでしょう。

(3)
(2)で求めた通り、a+b=0ということを満たす時、どこか分からない接点tから引いた接線が(a,b)を通る時の式、2t³-3at²+a+b=2t³-3at²=0となります。2t³-3at²=0のとき、これは(2)の条件((a,b)を通る接線が2本ある)を常に満たしてます。
n回目か分かりませんが、tは接点です。なので、2t³-3at²=0の解が(2)の条件を満たし、かつ、接点になります。これで念願の、接点が求まるわけです。これを解くことによって接点tが分かります。接点が分かるということはf'(x)に入れてあげれば傾きが求まります。
f'(接点のx座標)= 接線の傾き
これは接線の方程式見れば分かります。
あとは計算するだけです。
以上です。