22 32 第2章 複素数と方程式 問 17 解の判別 (I) 次のæについての方程式の解を判別せよ. ただし, は実数と する。 (1) 精講 2-4.x+k=0 (2) kx²-4x+k=0 について考えて、分類して答えよ」 という意味です.ということは 「解を判別せよ」 とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か)と解の個数 (1) (2) 2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」 と思いたくな るのですが、はたして…………… 解答 D=4-k だから, (1)-4x+k=0 の判別式をDとすると, 1/24=4- この方程式の解は次のように分類できる. <D <0 (i) 4-k< 0 すなわち, k>4のとき D<0だから, 虚数解を2個もつ (Ⅱ) 4-k=0 すなわち, k=4のとき D=0 だから, 重解をもつ () 4-k>0 すなわち, k <4のとき D> 0 だから, 異なる2つの実数解をもつ (i)~ (Ⅲ)より, k>4 のとき, 虚数解 2個 h=4 のとき,重解 D=0 <D>O <4 のとき,異なる2つの実数解 (2) (ア)k=0 のとき 与えられた方程式は4x=0 (イ) k=0のとき x=0 kx²-4x+k=0 の判別式をDとすると D=4k だからこの方程式の解は 4 k=0 のときは1次 方程式なので判別式 は使えない

33 次のように分類できる. (i) 4-k0 すなわち, k<2,2<kのとき D<0だから, 虚数解を2個もつ (ii) 4-k=0 すなわち, k=±2 のとき D=0 だから重解をもつ (4k0 すなわち, -2<k < 2 のとき D0 だから、 異なる2つの実数解をもつ (ア)(イ)より、 k=0 のとき, 実数解 1個 k<-2,2<kのとき, 虚数解2個 k=±2 のとき,重解 -2<k<0,0<k<2のとき, 異なる2つの実数解 注(2)のk=0 の場合と k=±2 の場合は,いずれも実数解を1個もっ ているという意味では同じように思うかもしれませんが, 2次方程式 重解は活字を見てもわかるように元来2個あるものが重なった状態 を指し,1次方程式の解は、元来1個しかないのです。だから,答案に は区別して書かないといけません. 仮に, 「k-4x+k=0 が異なる 「解をもつ」 となっていたら 「k≠0 かつ D=0」 となります. 問題文の1行目をよく読んでください. 参考 「次のxについての方程式・・・・・・」 とあります. 「次のxにつ いての2次方程式･･････」とは書いてありません。 よって, (2) の方程式は k=0 となる可能性が残されているのです. だから,「次 のxについての2次方程式」 となっていたら, すでに「k=0」が 前提になっていることになり、解答の (ア) は不要となります。 ポイント 判別式は2次方程式でなければ使えないので,の係 17 数が文字のときは要注意 を実数とするとき、次の2次方程式の解を判別せよ. (2) kr²-2kr+2k+1=0 L2. 0